数组建堆时间复杂度分析

关于堆数据结构的时间复杂度分析有点疑问，一直没想清楚为啥是线性的，
这次把算法导论里求得思想和大家分享下~~


这里讨论的都是二叉树！


算法导论假定array 是1开始的 已知a[1..n]
假定叶子高度为0，根高度为树高度


？O(nlogn)

void CreatHeap(int* a, int n){for i=[logn]->1//logn 次loopFilterDown(i);}

O(h)

void FilterDown(int i)//MaxHeap{int x=a[i];while(not to end){j=2*i;if((j+1)>n)//判断a[j+1]是否存在break;else{if(a[j]<a[j+1])j++;}if(a[i]<a[j])a[i]=a[j];i=j;}a[j]=x;}

这个就是我之前提到的，估计时间复杂度不够准确，虽然建堆复杂度确实低于O(nlogn) 但是由于很多节点的高度较低，因此可以获得更准确的渐进复杂度：




首先有一些notation，结论均在n个结点的树前提下


1.n个节点的树，高度为O(logn),准确计算公式h=下界(log2(n)) (下标1开始计算的)


2.对于高度为h的节点，执行FilterDown的时间复杂度为O(h):从当前节点向下比较，交换和比较的次数最多为2*h


3.高度为h层，至多有上届(n/(2^(h+1)))个结点：2^(上界(log2n)-h)推到得出


建堆的时间复杂度：






用一个等差乘等比数列的求和公式可以算出：

将下界(logn)带入之后，可以得到结论：

今天看到一篇N个数求第K大的数的问题，想到更精确的时间复杂度是O(4n)，因为FilterDown里面的每一轮循环最多有4次操作，这也可以另一方面说明虽说线性，但是操作次数也会比较多