0-1背包问题详解

0/1背包问题：有n件物品，每件物品i的重量为w[i]，价值为v[i]；有一个背包，最大承重量为c。要求向包中放入若干件物品，使的物品总重不超过背包承重量，且包中物品的总价值最大。

 

0-1背包问题可以用回溯法、搜索解空间法、动态规划法等。其中动态规划方法思想和实现都较为简单，时间复杂度也较低，因而比较常用。网上很多c或者c++的动态规划实现0-1背包的代码都是错误的。这里对该问题给出较为详细的解释，并给出亲测的版本。

动态规划问题实现0-1背包问题关键在状态的构造，也就是子问题的构造——定义f[i][j]，含义为在容量为 j 时，考虑前 i 件物品所能得到的最大价值是多少。为什么这样定义状态，是要仔细斟酌的。f[i][j]可以根据前一个状态推得——对于第 i 件物品，只有两个状态，取或者不取。如果不取，则可以获得的最大价值寄希望于前i-1件物品就可以了：即f[i][j] = f[i-1][j]；如果取第i 件物品，则留给前i-1件物品的最大承重量就小了，即减去第i件物品的重量，当然总价值中分为第i件物品的价值和前i-1件的最大价值，f[i][j] = f[i-1][j - w[i]] + v[i]。

可以这样理解，初值比较好算：f[i][0]和f[0][j]的值全部为0；f[1][j]表示：在包的容量为j = [0, c]时，可以获得的最大价值；f[2][j]表示：在包的容量为j = [0, c]时，可以获得的最大价值；这时候考虑，f[2][j]是怎么得来的？是根据f[1][j] 和 f[1][j - w[1]] + v[1] 得到的，而w[1]值是多少不确定，所以可以理解为什么要这么表示状态了吧。

 

下面有个简单的例子，走一边此例，会更加明白动态规划的运行机理：

测试数据：有3件物品，最大承重为10；

w[3] = {3,4,5};  
v[3] = {4,5,6};

这里值得注意的是，f[i][j] = f[i-1][j - w[i]] + v[i] 式中，编程时w[i]和v[i]替换为w[i-1]和v[i-1]。