线段树（更新中）

作者：disappearedgod

文章出处：http://blog.csdn.net/disappearedgod/article/details/24425983

时间：2014-4-24

前记

本想在“查找 与 树”中完成有关树的介绍，但是由于树的东西实在太多，而面试笔试也是一个重点，所以分出来写了个"数据结构-树"，后来由于那篇单独介绍树的博客也太长，就暂时分开了成为了几个博客，在相关链接中能看到。

July 博客是被大家所知的，其原因是因为面试笔试题比较多。尽管他写的思路比较好，但是还有有很难以阅读的问题，也许是他把好阅读的方式放在了线下。

本文还是主要根据教材来进行书写《数据结构与算法》 Adam Drozdek的C++版本，代码还是用Java的较好一些。

正文

7.0 问题的提出

7.0.1 问题本身

有M个数排成一列，初始值全为0，然后做N次操作，每次我们可以进行如下操作：

（1）将指定区间的每个数加上一个值；

（2）将指定区间的所有数置成一个值；

（3）询问一个区间上的最小值、最大值、所有数的和。

7.0.2 问题的解释

这个问题本身不是一个牵强附会的问题，当进行统计的时候，有些统计方法是需要一段树来进行计算的，比如说是对时间序列的计算就像上面提出的问题一样。

这个问题的一个普通的想法就是：

用一张线性表表示整个数列，每次执行前两个操作的时候，将对应区间里的数值逐一进行修改，执行第三个操作的时候，线性扫描询问区间，求出三个统计值，每次维护的时间复杂度O(m)，整体的时间复杂度O(mn)。

线段树是一种可以直接维护所需要处理的区间的数据结构。

7.0.3 举一个例子-售票系统

       某次列车途经C个城市，城市编号依次为1到C，列车上共有S个座位，每一个售票申请包含三个参数，分别用O、D、N表示，O为起始站，D为目的地站，N为车票张数，售票系统对该售票申请作出受理或不受理的决定。只有在从O到D的区段内列车上都有N个或N个以上的空座位时该售票申请才被受理。1<=C<=60000，1<=S<=60000，1<=R<=60000，C为城市个数，S为列车上的座位数，R为所有售票申请总数。

输入：

4 6 4

1 4 2

1 3 2

2 4 3

1 2 3

输出：

YES

YES

NO

NO

7.0.4 线段树的应用场景

数据库的索引。

所以主要是需要了解对线段树的维护方法。

7.1 介绍 

线段树，也叫区间树，是一个完全二叉树，它在各个节点保存一条线段（即“子数组”），因而常用于解决数列维护问题，它基本能保证每个操作的复杂度为O(lgN)。

<span style="font-family:Microsoft YaHei;">struct Node{    int   left,right;  //区间左右值    Node   *leftchild;    Node   *rightchild;    };</span>

7.2 定义

1. 长度为1的线段称为元线段。
2. 一棵树被称为是线段树，当且仅当这棵树满足如下条件：
   1. 该树是一棵二叉树；
   2. 树中的每一个节点都对应一条线段[a,b]
   3. 树中的节点是叶子节点，当且仅当它所代表的线段是元线段。
   4. 书中非叶子节点都有左右两棵子树，左子树树根对应线段[a,(a+b)/2]，右子树树根对应线段是[(a+b)/2，b]
   
   

7.3 性质

性质1：长度范围为[1,L]的一棵线段树的深度不超过log2(L-1)+1；

性质2：线段树上的结点个数不超过2L个；

性质3：线段树把区间上的任意一条线段都分成不超过2log2L条线段。

7.4 维护

线段树上的参数通常有两种维护方法：

（1）一类参数表达了结点的性质，通常具有树型的递推性质，可以从下向上进行递推计算；（如sum,max,min）

（2）一类参数表达了子树的性质，维护的时候可以先打上标记，在需要进一步访问其子结点的时候从上向下传递。（如delta,en）

7.5 实现

<span style="font-family:Microsoft YaHei;">Node   *build(int   l ,  int r ) //建立二叉树{    Node   *root = new Node;    root->left = l;    root->right = r;     //设置结点区间    root->leftchild = NULL;    root->rightchild = NULL;    if ( l +1< r )    {       int  mid = (r+l) >>1;       root->leftchild = build ( l , mid ) ;       root->rightchild = build ( mid  , r) ;     }     return    root; }</span>

插入和删除

<span style="font-family:Microsoft YaHei;">void  Insert(int  c, int d , Node  *root ){       if(c<= root->left&&d>= root->right)            root-> cover++;       else        {           if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->leftchild  );           if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Insert (c,d, root->rightchild  );       }}</span>

<span style="font-family:Microsoft YaHei;">void  Delete (int c , int  d , Node  *root ){       if(c<= root->left&&d>= root->right)            root-> cover= root-> cover-1;       else        {          if(c < (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->leftchild  );          if(d > (root->left+ root->right)/2 ) Delete ( c,d, root->rightchild );       }}</span>

7.6 评价

7.6.1 线段树与RMQ的比较

RMQ提供了一种高效的计算区间最值的方法。它的思想是将询问区间分解成两个最大的2的次幂的长度的区间并的形式。与线段树不同，这种区间分解是存在相交的分解。因此RMQ只能维护一些简单的信息，比如最值。

RMQ的优势：
（1）实现非常简单；
（2）效率比线段树更高；
线段树的优势：
（1）可以更好地维护动态的信息，而RMQ不推广到动态；
（2）可以维护更多的信息，而RMQ只能维护最值。

7.6.2 线段树与树状数组的比较

树状数组可以对单个元素进行高效的修改，并且可以高效的求部分和。

由于使用了位运算，因此树状数组的效率要优于线段树。

树状数组的空间开销也比线段树要小，但是树状数组的应用范围没有线段树广，能够转化使用树状数组的情况下尽量使用树状数组。

7.6.3 线段树与平衡树的比较

这两种数据结构解决了不同方面的问题，但是有的题目通过适当的建模，使用两种数据结构都能够加以解决。通常情况下，使用线段树的效率会优于平衡树。
但线段树有一点局限性：尽管能够在区间上进行修改操作，但不能插入或者删除区间。而这种插入与删除操作却是平衡树的基本操作之一。

相关链接

数据结构-树（多叉树、二叉树、二叉搜索树、平衡二叉树、字典树、红黑树、线段树）

树

多叉树

二叉树

二叉搜索树

平衡二叉树

字典树

红黑树

线段树

参考文章

线段树(segment tree)-实现

rmq

线段树及其应用