第七周作业--背包问题

         背包问题：是一种组合优化的NP完全问题；问题可以描述为：给定一组物品，每种物品都有自己的重量和价格，在限定的总重量内，

我们如何选择，才能使得物品的总价格最高。

        思想：特点是：每种物品仅有一件，可以选择放或不放用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程。便是：f[i][v]=max{ f[i-1][v], f[i-1][v-c[i]]+w[i] }。可以压缩空间，f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]}；这个方程非常重要，基本上所有跟背包相关的问题的方程都是由它衍生出来的。所以有必要将它详细解释一下：“将前i件物品放入容量为v的背包中”这个子问题，若只考虑第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只牵扯前i-1件物品的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，价值为f[i-1][v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f [i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。

注意f[v]有意义当且仅当存在一个前i件物品的子集，其费用总和为v。所以按照这个方程递推完毕后，最终的答案并不一定是f[N] [V]，而是f[N][0..V]的最大值。如果将状态的定义中的“恰”字去掉，在转移方程中就要再加入一项f[v-1]，这样就可以保证f[N] [V]就是最后的答案。至于为什么这样就可以，由你自己来体会了。

#include<iostream>using namespace std;void kanpsack_dp(int c[50][50],int w[50],int v[50],int n,int C){ for(int i=0;i<=C;i++) {  c[0][i]=0; } for(int i=1;i<=n;i++) {  c[i][0]=0;  for(int j=1;j<=C;j++)  {   if(w[i]<=j)    {     if(v[i]+c[i-1][j-w[i]]>c[i-1][j])c[i][j]=v[i]+c[i-1][j-w[i]];     else c[i][j]=c[i-1][j];    }   else c[i][j]=c[i-1][j];  } }}void output_stack(int c[50][50],int x[50],int w[50],int n,int C){ for(int k=n;k>=2;k--) {  if(c[k][C]==c[k-1][C])x[k]=0;  else{     x[k]=1;     C=C-w[k];} } x[1]=c[1][C]?1:0;}int main(){ int c[50][50]; int w[50],v[50],x[50]; int C,n; cout<<"输入物品得总个数:"; cin>>n; cout<<"输入背包得总容量:"; cin>>C; cout<<"依次输入物品得重量:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) {  cin>>w[i]; } cout<<"依次输入物品得价值:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) {  cin>>v[i]; } kanpsack_dp(c,w,v,n,C); output_stack(c,x,w,n,C); cout<<"最优解为:"<<endl; for(int i=1;i<=n;i++) {  cout<<x[i]<<" "; } return 0;}