POJ 1703 && poj 1182【典型并查集】

http://poj.org/problem?id=1703

理解：一个数组用来保存每个节点之间的关系：

1、  father()根据子节点与父亲节点的关系和父节点与爷爷节点的关系，推导子节点与爷爷节点的关系

 
2.Union（）联合两棵树的时候也要更新两棵树的根的关系
      

题意 ：有两个不同的帮派，每个帮派至少有一个人。 判断两个人是否属于同一个帮派。

              有 T 组测试数据。

              给你 N 个人，编号从 1 到 N，操作 M 次。

              每次操作输入一个字符和两个数 x ,y 

              如果字符为 A 则判断 x 和 y 是否属于同一个帮派，并且输出结果。

              如果字符为 D 则明确告诉你 x 和 y 是属于不同帮派的。

算法：经典并查集的应用。

PS：以前接触的并查集都是让我们判断是否属于同一个连通分量，但这道题却让你判断是否属于同一类。

        开始小纠结了下，如果我昨天没有纠结清楚 POJ 1182 食物链 那题想必肯定是做不出来的，其实想清楚了，这道题就是 食物链 

        那题的简单版本。

思路：除了像普通的并查集定义一个 p[] 记录父亲节点外，还定义一个 r[] 记录当前点与其所属的连通分量的根节点的关系。

            r[] = 0 表示属于同一个帮派； r[] = 1表示与其根节点属于不同的帮派。

            

           开始时初始化自己是自己的父亲 p[x] = x，自己与自己属于同一类 r[x] = 0.

           一旦输入 D 断定 x 和 y 属于不同集合后，就连接 x 和 y 所在的树，同时更新 r[]

           一旦输入 A

           如果 find(x) 不等于 find(y) 说明还没有判断过 x 与 y 直接输出关系不确定即可

      Not sure yet.

      如果find(x)等于 find(y) ，但是他们的r不等，说明属于不同帮派，输出In different gangs.

                               如果他们的r相等，说明属于同一个帮派，则输出In the same gang

注意：1.find()函数寻找根节点的时候要不断的更新 r  

       根据子节点与父亲节点的关系和父节点与爷爷节点的关系，推导子节点与爷爷节点的关系

       如果 a 和 b 的关系是 r1, b 和 c 的关系是 r2,

       那么 a 和 c 的关系就是 (r1+r2)%2 . PS:因为只用两种情况所以对 2 取模。

       如果实在不好理解，那么我们就枚举推理一下，共有 2*2 = 4种情况：

       （a, b） (b, c)  (a, c)  (r1+r2)%2

          0 0       0        0    a 和 b是同类 ， b 和 c 是同类， 所以 a 和 c 也是同类

          0      1       1        1    a 和 b是同类 ， b 和 c 是异类， 所以 a 和 c 也是异类

          1      0       1        1    a 和 b是异类 ， b 和 c 是同类， 所以 a 和 c 是异类

          1      1       0        0    a 和 b是异类 ， b 和 c 是异类， 所以 a 和 c 是同类

     2.Union（）联合两棵树的时候也要更新两棵树的根的关系

       定义：fx 为 x的根节点， fy 为 y 的根节点

       联合时，使得 p[fx] = fy; 同时也要寻找 fx 与 fy 的关系。关系为：（r[x]+r[y]+1）%2

       如何证明？

       fx 与 x 的关系是 r[x], 

       x 与 y 的关系是 1 （因为确定是不同类，才联合的）, 

       y 与 fy 关系是 r[y],模 2 是因为只有两种关系

       所以又上面的一点所推出的定理可以证明 fx 与 fy 的关系是： （r[x]+r[y]+1）%2

#include<cstdio>const int maxn = 100000+10;int p[maxn]; //存父亲节点int r[maxn]; //存与根节点的关系，0 代表同类， 1代表不同类int find(int x) //找根节点{    if(x == p[x]) return x;    int t = p[x]; //记录父亲节点 方便下面更新r[]    p[x] = find(p[x]);    r[x] = (r[x]+r[t])%2; //根据子节点与父亲节点的关系和父节点与爷爷节点的关系，推导子节点与爷爷节点的关系    return p[x]; //容易忘记}void Union(int x, int y){    int fx = find(x); //x所在集合的根节点    int fy = find(y);    p[fx] = fy; //合并    r[fx] = (r[x]+1+r[y])%2; //fx与x关系 + x与y的关系 + y与fy的关系 = fx与fy的关系}void set(int n){    for(int x = 1; x <= n; x++)    {        p[x] = x; //自己是自己的父节点        r[x] = 0; //自己和自己属于同一类    }}int main(){    int T;    int n, m;    scanf("%d", &T);    while(T--)    {        scanf("%d%d%*c", &n, &m);        set(n);        char c;        int x, y;        while(m--)        {            scanf("%c%d%d%*c", &c, &x, &y); //注意输入            //printf("%c\n", c);            if(c == 'A')            {                if(find(x) == find(y)) //如果根节点相同，则表示能判断关系                {                    if(r[x] != r[y]) printf("In different gangs.\n");                    else printf("In the same gang.\n");                }                else printf("Not sure yet.\n");            }            else if(c == 'D')            {                Union(x, y);            }        }    }    return 0;}

poj 1182

http://poj.org/problem?id=1182

关键词：并查集 相对关系
思路：（用一个并查集就够了，同时对每个节点保持其到根结点的相对类别偏移量）
  1.father[x]表示x的根结点。rank[x]表示father[x]与x的关系。rank[x] == 0 表示father[x]与x同类；1表示father[x]吃x；2表示x吃father[x]。

2.怎样划分一个集合呢？
  注意，这里不是根据x与father[x]是否是同类来划分。而是根据“x与father[x]能否确定两者之间的关系”来划分，若能确定x与father[x]的关系，则它们同属一个集合。

3.怎样判断一句话是不是假话？
        假设已读入 D , X , Y , 先利用find_set()函数得到X , Y 所在集合的代表元素 xf ,yf ,若它们在同一集合（即 xf == yf ）则可以判断这句话的真伪（ 据 2. ）.
        若 D == 1 而 rank[X] != rank[Y] 则此话为假。（D == 1 表示X与Y为同类，而从rank[X] != rank[Y]可以推出 X 与 Y 不同类。矛盾。）
        若 D == 2 而 rank[X] == rank[Y] （X 与Y为同类）或者　rank[X] == ( rank[Y] + 1 ) % 3 （Y吃X ）则此话为假。

4.上个问题中 r[X] == ( r[Y] + 1 ) % 3这个式子怎样推来？假设有Y吃X，那么r[X]和r[Y]的值是怎样的？
 我们来列举一下:  r[X] = 0 && r[Y] = 2 
                               r[X] = 1 && r[Y] = 0
                               r[X] = 2 && r[Y] = 1
  稍微观察一下就知道r[X] = ( r[Y] + 1 ) % 3;事实上，对于上个问题有更一般的判断方法：
  若 ( r[Y] - r[X] + 3 ) % 3 != D - 1 ，则此话为假。（来自poj 1182中的Discuss ）

5、注意事项：

A、我们用x--r-->y表示x和y之间的关系是r，比如x--1--y代表x吃y。现在，若已知x--r1-->y，y--r2-->z，如何求x--?-->z？，于是我们不难发现，x--(r1+r2)%3-->z。这个就是在Find_Set（int x）函数中用到的更新x与father[X]的关系

B、当D X Y时，则应合并X的根节点和Y的根节点，同时修改各自的rank。那么问题来了，合并了之后，被合并的根节点的kind值如何变化呢？
现有x和y，d为x和y的关系，xf和yf分别是x和y的根节点，于是我们有x--rank[x]-->xf，y--rank[y]-->yf，显然我们可以得到xf--(3-rank[x])-->x，yf--(3-rank[y])-->y。假如合并后x为新的树的根节点，那么原先fx树上的节点不需变化，yf树则需改变了，因为rank值为该节点和树根的关系。这里只改变rank(yf)即可，因为在进行find_set操作时可相应改变yf树的所有节点的kind值。于是问题变成了yf--?-->xf。我们不难发现yf--(3-rank[y])-->y--(3-d)-->x--rank[x]-->xf,根据前面的结论，我们有yf--(3-rank[y])-->y--(3-d)-->x--rank[x]-->xf。我们求解了xf和yf的关系了。

 代码如下：

#include <iostream>const int MAX=50005;int father[MAX];int rank[MAX];//初始化集合 void Make_Sent(int x){    father[x]=x;    rank[x]=0;}//查找x的集合，回溯时压缩路径，并修改x与father[x]的关系 int Find_set(int x){    int t;     if(x!=father[x])    {        t = father[x];        father[x]= Find_set(father[x]);        //更新x与father[X]的关系         rank[x] = (rank[x]+rank[t])%3;    }    return father[x];}//合并x,y所在的集合 void Union(int x,int y,int d){    int xf = Find_set(x);    int yf = Find_set(y);    //将集合xf合并到yf集合上     father[xf] = yf;    //更新 xf 与father[xf]的关系     rank[xf]=(rank[y]-rank[x]+3+d)%3;}int main(){    int totle=0;    int i,n,k,x,y,d,xf,yf;    scanf("%d%d",&n,&k);    for(i=1;i<=n;++i)Make_Sent(i);    while(k--)    {        scanf("%d%d%d",&d,&x,&y);        //如果x或y比n大，或x吃x，是假话         if(x>n||y>n||(d==2 && x == y))        {            totle++;                         }        else        {            xf = Find_set(x);            yf = Find_set(y);            //如果x，f的父节点相同 ，那么可以判断给出的关系是否正确的             if(xf == yf)            {                if((rank[x]-rank[y]+3)%3 != d-1)                    totle++;                                          }            else            {                //否则合并x，y                 Union(x,y,d-1);            }        }    }    printf("%d\n",totle);    system("pause");return 0;}

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