关于K-fold cross validation 下不同的K的选择的疑惑？

 在K-fold cross validation 下 比较不同的K的选择对于参数选择（模型参数，CV意义下的估计的泛化误差）以及实际泛化误差的影响。更一般的问题，在实际模型选择问题中，选择几重交叉验证比较合适？

 

交叉验证的背景知识：

CV是用来验证模型假设（hypothesis）性能的一种统计分析方法，基本思想是在某种意义下将原始数据进行分组，一部分作为训练集，一部分作为验证集，使用训练集对每个hypothesis进行训练，再用验证集对每个hypothesis的性能进行评估，然后选取性能最好的hypothesis作为问题对应的模型。

 

常用CV 方法：

1. Hold-out method

最简单的验证方法，将训练数据随机分为两份（典型做法是七三分）。不是真正意义上的CV，没有交叉的思想，所以验证集上的测试精度与原始数据的分组有很大关系，具有随机性，不具有说服性。（是否可通过多次平均的方法来消除这种随机性？待验证）

2. K-fold CV

 

一般，k>=2。经验上，k取5即可（计算量与精度的权衡），k=5时的结果大致和10以上类似。

3. Leave-one-out CV（LOO-CV）

K-fold CV 的极端情况，将k设为样本数。

优点：（1）结果可靠。

     （2）实验过程可被复制。

缺点：计算量过大。实际操作困难，除非并行化。

 

实验: 使用高斯核最小二乘做回归。

Code:

Contents

• training set
• test set
• ================Cross Validation=======================
• ================ Normal Equations ================

training set

the number of the tarining samples

trainSize=1000;% the dimension of the tarining samplestrainDim=1;% the gaussian noise (u=0, sigma= 0.4472(variance equals to 0.2))% epsilon=normrnd(0, 0.4472,trainSize,trainDim);% the gaussian noise (u=0, sigma= 0.3162(variance equals to 0.1))% epsilon=normrnd(0, 0.3162,trainSize,trainDim);epsilon=normrnd(0, 0.1,trainSize,trainDim);% the nosiy training samples% the uniform distribution in [-a,a]% R = a - 2*a*rand(m,n)%  x_train=1-2.*rand(trainSize,trainDim); %[-1,1]x_train=pi-(2*pi).*rand(trainSize,trainDim); %[-pi,pi]% sinc target functiony_train=sinc(x_train)+epsilon;%y_train=sinc(x_train);

test set

the number of the test samples

testSize=1000;% the dimension of the tarining samplestestDim=1;% the test samplesx_test=pi-2*pi.*rand(testSize,testDim);y_test=sinc(x_test);

================Cross Validation=======================

[mse,bestk,bestg] = RLScgForRegress(x_train,y_train);

================ Normal Equations ================

fprintf('Solving with normal equations...\n');D_train=generateDictonary(x_train,x_train,bestg);D_test=generateDictonary(x_test,x_train,bestg);% Map D_train onto Guassian high-dim Features and Normalize[D_train, mu, sigma] = featureNormalize(D_train);% Map D_test and normalize (using mu and sigma)D_test = bsxfun(@minus, D_test, mu);D_test = bsxfun(@rdivide, D_test, sigma);% Calculate the parameters from the normal equationntheta = normalEqn(D_train,y_train,bestk);%     % Display normal equation's result%     fprintf('Theta computed from the normal equations: \n');%     fprintf(' %f \n', ntheta);%     fprintf('\n');trainError=sqrt(sum((y_train-D_train*ntheta).^2)/size(y_train,1));testError=sqrt(sum((y_test-D_test*ntheta).^2)/size(y_test,1));%  Plot fit over the datafigure;plot(x_test, y_test, 'rx', 'MarkerSize', 10, 'LineWidth', 1.5);xlabel('x test');ylabel('y test');hold on;grid on;plot(x_test,D_test*ntheta, 'b.', 'LineWidth', 2);hold off;

对于这个问题，选择K为多少比较合适？
1、 首先确定待选模型参数的范围（即假设空间），确保所选范围能包含最优假设。K-fold CV 可以选出某种意义下的最优的参数，但通过实验观察，似乎的趋势是，不同的K对应的假设空间是不同的，K越大，需要增加参数的区间，以保证假设空间能包含住最优性能的假设。
 
Eg：lambda_vec = [0.001 0.003 0.01 0.03 0.1 0.3 1 1.3 1.6 1.9 2.3 3 6 10 20 40 70 100 150 200 250 300];
sigma_vec = [0.03 0.1 0.3 1 1.3 1.6];
这两组参数区间下，对应的假设的性能：
 
 
2、 对于不同的K对应的CV的评价指标：
（1）CV意义下的估计泛化误差（使用RMSE）
（2）实际泛化误差
 
K=2时
最优估计泛化误差         0.1832                实际泛化误差 0.1769
K=5时
最优估计泛化误差         0.2011                实际泛化误差 0.2571
 
K=10时
 
最优估计泛化误差         0.2020                实际泛化误差 0.2740
 
 
这种随着K增加，泛化误差增加的趋势和理论上不符？
理论上，随着K越大，可供训练的样本更多，这样评估的结果更可靠。即是这两种泛化误差都应是下降趋势。