[hdu 1398] Square Coins（母函数） + 母函数小解析

关于母函数网上有一大堆解析，不过解析具体代码的好像不多，这里就简要介绍一下好了。仅供初学者参考，老鸟请路过-.-

这篇博客虽然写的是hdu 1398，不过我们还是从hdu 1028开始比较好，因为这道题是最赤裸裸的母函数模板。

母函数说白了就是计算几个式子的乘积，如

(1 + x + x^1 + x^2)(1 + x^2) = 1 + x + 2x^2 + x^3 + x^4

通过母函数我们要得出的就是右式。我们设两个变量c1和c2，c2是临时数组，先不管它，我们将c1的下标设为指数，值设为这个指数的系数，如5x^3就是c1[3] = 5。

先看一看代码

    #include<iostream>      using namespace std;            #define maxn 125      int c1[maxn], c2[maxn];            int main()      {          int n;          while(~scanf("%d", &n))          {              for(int i = 0; i <= n; i++)  // --- 第一步            {                  c1[i] = 1;                  c2[i] = 0;              }              for(int i = 2; i <= n; i++)   // --- 第二步            {                  for(int j = 0; j <= n; j++)   // --- 第三步                    for(int k = 0; k+j <= n;k+=i)  // --- 第四步                        c2[k+j] += c1[j];           // --- 第五步                for(int i = 0; i <= n; i++)     // 第六步                {                      c1[i] = c2[i];                      c2[i] = 0;                  }                 }              printf("%d\n", c1[n]);          }          return 0;      }  

hdu 1028要计算的是(1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x ^2 + x^4 + ...) * (1 + x^3 + x^6 + ...)

与手动计算一样，先是第一个括号乘以第二个括号，得到结果后再继续与第三个括号相乘，如此下去。

那么我们首先初始化第一个括号的参数，也就是上述代码中的第一步。然后从第二个括号开始乘，那么就是上述的第二步。接下来的j依次指向第一个括号中的每一个数。

第四步是关键，k指向的是第二个括号中的每一个数，说到这里可能还是比较模糊，我们就来手动执行一下。我们假设hdu1028的n现在是2

(1 +  x + x^2) * (1 + x^2)

首先j指向第一个括号中的第一个数，也就是1，然后依次与第二个括号中的数相乘，那么k循环一遍后我们得到了1 + x^2，接着我们把它记录到c2这个临时数组中

所以是c2[j+k] += c1[j]。j+k指的是相乘后的指数，c1[j]指的是【第一个括号中，指数为j的数的系数】。

为什么是这样写的呢？个人所见，可以从两方面理解：一是因为，第二个括号中的系数都是1，因为个数的含义体现在了指数上，这个很好理解。二是因为，这个表达式前两个括号相加后，是合并到第一个括号中的，然后继续与"第二个“括号相乘，这里的"第二个"括号实际上是第三个括号。

例如这个表达式：(1 + 2x + 3x^2) * (1 + x^2)，我们会得到如下值：

(1 + 2x + 3x^2) * (1 + x^2) = 1 + x^2 + 2x + 2x^3 + 3x^2 + 2x^4，然后是合并同指数的系数，得到1 + 2x + 4x^2 + 2x^3 + 3x^4

所以是c2[j+k] += c1[j]。从这里可以看出，母函数就是经过不断计算，将指数一层层叠加到第一个括号中。

现在c2数组存了更新后的"第一个括号的系数"，所以要放回c1中，供下次相乘使用。

现在回过来看看hdu 1398，(1 + x + x^2 + x^3 + ...) * (1 + x^2 + x^4 + ...) * (1 + x^9 + x^18 + ...)

同样的，初始化0~n都是1，然后从第二个括号开始计算，因为第一个括号永远都是n+1项，所以j是从0到n。

第i个括号中的指数增量是i*i，所以代码就成型了。

#include<iostream>using namespace std;#define maxn 310int c1[maxn], c2[maxn];int main(){    int n;    while(~scanf("%d", &n) && n)    {        memset(c1, 0, sizeof(c1));        memset(c2, 0, sizeof(c2));        for(int i = 0; i <= n; i++)            c1[i] = 1;        for(int i = 2; i*i <= n; i++)        {            for(int j = 0; j <= n; j++)                for(int k = 0; j + k <= n; k += i*i)                    c2[j+k] += c1[j];            for(int i = 0; i <= n; i++)            {                c1[i] = c2[i];                c2[i] = 0;            }        }        printf("%d\n", c1[n]);    }    return 0;}