线性筛素数 线性筛欧拉函数

  线性筛素数的思想：把合数用它最小的素因子筛掉，因为每个数被唯一的筛掉一次，所以是线性的。

  比如：4被2筛掉（2*2），6被2筛（3*2），8被2筛（4*2），9被3筛（3*3）。。。

 

void prime_table(){    int k=0;    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=2;i<=N;i++){        if(!vis[i]) prime[k++]=i;        for(int j=0;j<k&&i*prime[j]<=N;j++){            vis[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0) break;        }    }}

  具体体现在if(i%prime[j]==0) break;  也就是说，若i%prime[j]==0，当筛掉i*prime[j]之后就不再去筛i*prime[j+1]。为什么呢？因为这时i可以写成prime[j]*k，i*prime[j+1]=prime[j]*k*prime[j+1]，设x=k*prime[j+1]，则i*prime[j+1]=x*prime[j]，说明之后循环到x的时候会把i*prime[j+1]筛掉，目前不用筛。

  线性筛欧拉函数也是利用这种思想。

  欧拉函数的几点性质：

     1.若x为素数，phi[x]=x-1。

     2.若x为素数，phi[x^p]=x^p-x^(p-1)。由此可得到phi[x^(p+1)]=phi[x^p]*x。

     3.若x,y]互质，phi[x*y]=phi[x]*phi[y]。

  线性筛欧拉函数过程：

  若i是素数，直接phi[i]=i-1。

  否则：

      1.若i%prime[j]!=0，因为prime[j]是素数，所以i和prime[j]互质，根据性质3，phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1)。

      2.若i%prime[j]==0，设i=p1^n1*p2*n2...*prime[j]^nj...   i*prime[j]=p1^n1*p2*n2...*prime[j]^(nj+1)...根据性质3，phi[i]=phi[p1^n1]*phi[p2^n2]...*phi[prime[j]^nj]...    phi[i*prime[j]]=phi[p1^n1]*phi[p2^n2]...*phi[prime[j]^(nj+1)]...  根据性质2，phi[prime[j]^(nj+1)]=phi[prime[j]^n]*prime[j]，因此phi[i*prime[j]=phi[i]*prime[j]。

void phi_table(){    int k=0;    memset(vis,0,sizeof(vis));    for(int i=2;i<=N;i++){        if(!vis[i]){            prime[k++]=i;            phi[i]=i-1;        }        for(int j=0;j<k&&i*prime[j]<=N;j++){            vis[i*prime[j]]=1;            if(i%prime[j]==0){                phi[i*prime[j]]=phi[i]*prime[j];                break;            }            else phi[i*prime[j]]=phi[i]*(prime[j]-1);        }    }}