动态规划(1)-01背包【模板】

问题描述

有N件物品和一个容量为V 的背包。放入第i件物品耗费的空间是C[ i ]，得到
的价值是W[ i ]。求解将哪些物品装入背包可使价值总和最大。

 

基本思路

每种物品仅有一件，可以选择放或不放。
用子问题定义状态：即F[i，v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以

获得的最大价值。则其状态转移方程便是：
                     F[i，v] = max { F[i - 1，v]，F[i - 1，v - C[ i ] ] + W[ i ] }

 

“这个方程表示将前i件物品放入容量为v的背包，”这个子问题，若只考虑

第i件物品的策略（放或不放），那么就可以转化为一个只和前i - 1件物品相

关的问题。如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i - 1件物品放入容量

为v的背包中”，价值为F[i - 1， v]；如果放第i件物品，那么问题就转化为

“前i -1件物品放入剩下的容量为v - C[ i ]的背包中”，此时能获得的最大价值

就是F[i - 1， v - Ci]再加上通过放入第i件物品获得的价值W[ i ]。

 

二维01背包

for(int i = 1; i <= n; i++)for(j = C[i]; j <= v; j++)dp[i][j] = max(dp[i-1][j], dp[i-1][j-C[i]] + W[i]);//其中i表示物品编号j表示总体积V//C[i]表示物品体积 W[i]表示物品价值

优化空间后一维01背包

for(int i = 0; i < n - 1; i++)for(int j = v; j >= C[i]; j--)dp[j] = max(dp[j], dp[j-C[i]] + W[i]);//其中i表示物品编号j表示总体积V//C[i]表示物品体积 W[i]表示物品价值

注意

如果要求恰好装满背包，那么在初始化时除了F[0]为0，其它F[1~V ]均设为-∞，

这样就可以保证最终得到的F[V ]是一种恰好装满背包的最优解。
如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将

F[0~V ]全部设为0。

这是因为初始化的F数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状

态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可以在什么也不装

且价值为0的情况下被“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于

未定义的状态，应该被赋值为-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容

量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状

态的值也就全部为0了。