再论扩展欧几里得—POJ 1061 青蛙约会

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青蛙的约会

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Description

两只青蛙在网上相识了，它们聊得很开心，于是觉得很有必要见一面。它们很高兴地发现它们住在同一条纬度线上，于是它们约定各自朝西跳，直到碰面为止。可是它们出发之前忘记了一件很重要的事情，既没有问清楚对方的特征，也没有约定见面的具体位置。不过青蛙们都是很乐观的，它们觉得只要一直朝着某个方向跳下去，总能碰到对方的。但是除非这两只青蛙在同一时间跳到同一点上，不然是永远都不可能碰面的。为了帮助这两只乐观的青蛙，你被要求写一个程序来判断这两只青蛙是否能够碰面，会在什么时候碰面。 
我们把这两只青蛙分别叫做青蛙A和青蛙B，并且规定纬度线上东经0度处为原点，由东往西为正方向，单位长度1米，这样我们就得到了一条首尾相接的数轴。设青蛙A的出发点坐标是x，青蛙B的出发点坐标是y。青蛙A一次能跳m米，青蛙B一次能跳n米，两只青蛙跳一次所花费的时间相同。纬度线总长L米。现在要你求出它们跳了几次以后才会碰面。 

Input

输入只包括一行5个整数x，y，m，n，L，其中x≠y < 2000000000，0 < m、n < 2000000000，0 < L < 2100000000。

Output

输出碰面所需要的跳跃次数，如果永远不可能碰面则输出一行"Impossible"

Sample Input

1 2 3 4 5

Sample Output

4

Source

浙江

网上针对这一题的代码十分繁杂这里我只举出比较经典的一种

代码如下：

#include<stdio.h>#include<string.h>using namespace std;typedef long long LL; LL gcd(LL a,LL b){    return b==0?a:gcd(b,a%b);}LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(b==0)    {        x=1;        y=0;        return a;    }    LL g=exgcd(b,a%b,x,y);    LL temp;    temp=x;    x=y;    y=temp-a/b*y;    return g;}int main(){    LL a,b,c,n,m,l,x,y;    LL xx,yy;//存储变形方程后的解    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)    {        a=n-m;        b=l;        c=x-y;        LL g=gcd(a,b);        if(c%g!=0)        {            printf("Impossible\n");            continue;        }        a=a/g;        b=b/g;        c=c/g;        exgcd(a,b,xx,yy);        LL t=c*xx/b;        xx=c*xx-t*b;        if(xx<0)            xx+=b;        printf("%lld\n",xx);    }    return 0;}

针对代码我有几点要补充：

1.扩展欧几里得部分我就不多说了，详情见本博客的算法学习—欧几里得与扩展欧几里得。

2.解题思路如下：

    总的来说本体归结为求a * x + b * y = c的整数解。

　　1、先计算Gcd(a,b)，若c不能被Gcd(a,b)整除，则方程无整数解；否则，在方程两边同时除以Gcd(a,b)，得到新的不定方程a' * x + b' * y = c'，此时Gcd(a',b')=1;这样c'是一定能整除1

       2、利用上面所说的欧几里德算法求出方程a' * x + b' * y = 1的一组整数解x0,y0，则n' * x0,n' * y0是方程a' * x + b' * y = c'的一组整数解；

　　3、根据数论中的相关定理，可得方程a' * x + b' * y = c'的所有整数解为：

        x = c' * x0 + b' * t
       y = c' * y0 - a' * t
       (t为整数)

　　上面的解也就是a * x + b * y = n 的全部整数解。

代码上令x=0，解出t=-x0*c'/b'，带回x的方程，得出x，如果x<0,再加上一个b就行。

经典公式法，代码如下：

#include<stdio.h>#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;LL gcd(LL a,LL b){    return b == 0?a:gcd(b,a%b);}LL exgcd(LL a,LL b,LL &x,LL &y){    if(b == 0)    {        x = 1;        y = 0;        return a;    }    LL g = exgcd(b,a%b,x,y);    LL temp;    temp = x;    x = y;    y = temp - a/b*y;    return g;}int main(){    LL a,b,c,x,y,m,n,l;    LL xx,yy;    while(scanf("%I64d%I64d%I64d%I64d%I64d",&x,&y,&m,&n,&l)!=EOF)    {        a = n - m;        b = l;        c = x - y;        LL g = gcd(a,b);        if(c % g)        {            printf("Impossible\n");            continue;        }        exgcd(a,b,xx,yy);        xx = (((xx%(b/g)*(c/g)%(b/g)))%(b/g)+(b/g))%(b/g);//¾­µä¹«Ê½·¨        yy = (c-a*xx)/b;        printf("%I64d\n",xx);    }    return 0;}