图的匹配问题与最大流问题(六)——匈牙利算法一种简洁实现

接着这个系列，前几个又重新写匈牙利算法时，发现了一种更为简洁的实现方式，和上一篇文章相比http://blog.csdn.net/smartxxyx/article/details/9672181,

这个算法更为简洁，也好理解。和维基百科上介绍的算法思路是一致的。

求最大匹配的一种显而易见的算法是：先找出全部匹配，然后保留匹配数最多的。但是这个算法的时间复杂度为边数的指数级函数。因此，需要寻求一种更加高效的算法。下面介绍用增广路求最大匹配的方法(称作匈牙利算法，由数学家Harold Kuhn于1955年提出)。

　　增广路的定义(也称增广轨或交错轨)：

　　若P是图G中一条连通两个未匹配顶点的路径，并且属于M的边和不属于M的边(即已匹配和待匹配的边)在P上交替出现，则称P为相对于M的一条增广路径。（M为一个匹配）

　　由增广路的定义可以推出下述三个结论：

　　1－P的路径长度必定为奇数，第一条边和最后一条边都不属于M。

　　2－将M和P进行异或操作(去同存异)可以得到一个更大的匹配M’。

　　3－M为G的最大匹配当且仅当不存在M的增广路径。

　　算法轮廓：

　　(1)置M为空

　　(2)找出一条增广路径P，通过异或操作获得更大的匹配M’代替M

　　(3)重复(2)操作直到找不出增广路径为止

本质上讲很像最大流算法：不断寻找增光路径，如果能够增加就匹配数，就进行操作。

/** * 匈牙利算法，递归（深度优先）搜索增光路径实现 * @author xhw * */class HungarianAlgorithm{int[][] graph;int match[];//记录匹配情况int state[];//记录是否访问过int n,m;int maxMatch=0;public HungarianAlgorithm(int[][] graph){this.graph=graph;this.n=graph.length;this.m=graph[0].length;match=new int[n];Arrays.fill(match, -1);state=new int[n];}public int maxMatching() {maxMatch=0;for(int i=0;i<n;i++){Arrays.fill(state, 0);maxMatch+=find(i);}return maxMatch;}public int find(int x) {for(int i=0;i<m;i++){if(graph[x][i]==1&&state[i]==0){state[i]=1;if(match[i]==-1||find(match[i])>0){match[i]=x;return 1;}}}return 0;}}