关于混合高斯、EM和K-means

与k-means一样，给定的训练样本是，我们将隐含类别标签用表示。与k-means的硬指定不同，我们首先认为是满足一定的概率分布的，这里我们认为满足多项式分布，，其中，有k个值{1,…,k}可以选取。而且我们认为在给定后，满足多值高斯分布，即。由此可以得到联合分布。

      整个模型简单描述为对于每个样例，我们先从k个类别中按多项式分布抽取一个，然后根据所对应的k个多值高斯分布中的一个生成样例，。整个过程称作混合高斯模型。注意的是这里的仍然是隐含随机变量。模型中还有三个变量和。最大似然估计为。对数化后如下：

      

      这个式子的最大值是不能通过前面使用的求导数为0的方法解决的，因为求的结果不是close form。但是假设我们知道了每个样例的，那么上式可以简化为：

      

       这时候我们再来对和进行求导得到：

      

      就是样本类别中的比率。是类别为j的样本特征均值，是类别为j的样例的特征的协方差矩阵。

实际上，当知道后，最大似然估计就近似于高斯判别分析模型（Gaussian discriminant analysis model）了。所不同的是GDA中类别y是伯努利分布，而这里的z是多项式分布，还有这里的每个样例都有不同的协方差矩阵，而GDA中认为只有一个。

      之前我们是假设给定了，实际上是不知道的。那么怎么办呢？考虑之前提到的EM的思想，第一步是猜测隐含类别变量z，第二步是更新其他参数，以获得最大的最大似然估计。用到这里就是：

循环下面步骤，直到收敛： {

      （E步）对于每一个i和j，计算

                  

      （M步），更新参数：

                  

}

      在E步中，我们将其他参数看作常量，计算的后验概率，也就是估计隐含类别变量。估计好后，利用上面的公式重新计算其他参数，计算好后发现最大化最大似然估计时，值又不对了，需要重新计算，周而复始，直至收敛。

      的具体计算公式如下：

      

      这个式子利用了贝叶斯公式。

      这里我们使用代替了前面的，由简单的0/1值变成了概率值。

      对比K-means可以发现，这里使用了“软”指定，为每个样例分配的类别是有一定的概率的，同时计算量也变大了，每个样例i都要计算属于每一个类别j的概率。与K-means相同的是，结果仍然是局部最优解。对其他参数取不同的初始值进行多次计算不失为一种好方法。

 

下面累述一下K-means与EM的关系，首先回到初始问题，我们目的是将样本分成k个类，其实说白了就是求每个样例x的隐含类别y，然后利用隐含类别将x归类。由于我们事先不知道类别y，那么我们首先可以对每个样例假定一个y吧，但是怎么知道假定的对不对呢？怎么评价假定的好不好呢？我们使用样本的极大似然估计来度量，这里是就是x和y的联合分布P(x,y)了。如果找到的y能够使P(x,y)最大，那么我们找到的y就是样例x的最佳类别了，x顺手就聚类了。但是我们第一次指定的y不一定会让P(x,y)最大，而且P(x,y)还依赖于其他未知参数，当然在给定y的情况下，我们可以调整其他参数让P(x,y)最大。但是调整完参数后，我们发现有更好的y可以指定，那么我们重新指定y，然后再计算P(x,y)最大时的参数，反复迭代直至没有更好的y可以指定。

     这个过程有几个难点，第一怎么假定y？是每个样例硬指派一个y还是不同的y有不同的概率，概率如何度量。第二如何估计P(x,y)，P(x,y)还可能依赖很多其他参数，如何调整里面的参数让P(x,y)最大。这些问题在以后的篇章里回答。

     这里只是指出EM的思想，E步就是估计隐含类别y的期望值，M步调整其他参数使得在给定类别y的情况下，极大似然估计P(x,y)能够达到极大值。然后在其他参数确定的情况下，重新估计y，周而复始，直至收敛。

     上面的阐述有点费解，对应于K-means来说就是我们一开始不知道每个样例对应隐含变量也就是最佳类别。最开始可以随便指定一个给它，然后为了让P(x,y)最大（这里是要让J最小），我们求出在给定c情况下，J最小时的（前面提到的其他未知参数），然而此时发现，可以有更好的（质心与样例距离最小的类别）指定给样例，那么得到重新调整，上述过程就开始重复了，直到没有更好的指定。这样从K-means里我们可以看出它其实就是EM的体现，E步是确定隐含类别变量，M步更新其他参数来使J最小化。这里的隐含类别变量指定方法比较特殊，属于硬指定，从k个类别中硬选出一个给样例，而不是对每个类别赋予不同的概率。总体思想还是一个迭代优化过程，有目标函数，也有参数变量，只是多了个隐含变量，确定其他参数估计隐含变量，再确定隐含变量估计其他参数，直至目标函数最优。