DCT变换的一些知识

MPEG采用了Ahmed（一个巨牛的数学家） 等人于70年代提出的离散余弦变换（DCT-Discrete Cosine Transform）压缩算法，降低视频信号的空间冗余度。
DCT将运动补偿误差或原画面信息块转换成代表不同频率分量的系数集，这有两个优点：其一，信号常将其能量的大部分集中于频率域的1个小范围内，这样一来，描述不重要的分量只需要很少的比特数；其二，频率域分解映射了人类视觉系统的处理过程，并允许后继的 量化过程满足其灵敏度的要求。
关于这一点在我手头的教程中有详尽的描述，让我直接引用：

视频信号的频谱线在0-6MHz范围内，而且1幅视频图像内包含的大多数为低频频谱线，只在占图像区域比例很低的图像边缘的视频信号中才含有高频的谱线。因此，在视频信号数字处理时，可根据频谱因素分配比特数：对包含信息量大的低频谱区域分配较多的比特数，对包含信息量低的高频 谱区域分配较少的比特数，而图像质量并没有可察觉的损伤，达到码率压缩的目的。然而，这一切要在低熵(Entropy)值的情况下，才能达到有效的编码。能否对一串数据进行有效的编码，取决于每个数据出现的概率。每个数据出现的概率差别大，就表明熵值低， 可以对该串数据进行高效编码。反之，出现的概率差别小，熵值高，则不能进行高效编码。视频信号的数字化是在规定的取样频率下由A/D转换器对视频电平转换而来的，每个像素的视频信号幅度随着每层的时间而周期性地变化。每个像素的平均信息量的总和为总平均信息量，即熵值。由于每个视频电平发生几乎具有相等的概率，所以视频信号的熵值很高。 熵值是一个定义码率压缩率的参数，视频图像的压缩率依赖于视频信号的熵值，在多数情况下视频信号为高熵值，要进行高效编码，就要将高熵值变为低熵值。怎样变成低熵值呢？这就需要分析视频频谱的特点。大多数情况下，视频频谱的幅度随着频率的升高而降低。其中 低频频谱在几乎相等的概率下获得0到最高的电平。与此相对照，高频频谱通常得到的是低电平及稀少的高电平。显然，低频频谱具有较高的熵值，高频频谱具有较低的熵值。据此，可对视频的低频分量和高频分量分别处理，获得高频的压缩值。

由上面的引用可见，码率压缩基于变换编码和熵值编码两种算法。前者用于降低熵值，后者将数据变为可降低比特数的有效编码方式。在MPEG标准中，变换编码采用的是DCT，变换过程本身虽然并不产生码率压缩作用，但是变换后的频率系数却非常有利于码率压缩。 实际上压缩数字视频信号的整个过程分为块取样、DCT、量化、编码4个主要过程进行-----首先在时间域将原始图像分成N(水平)×N（垂直）取样块，根据需要可选择4×4、4×8、8×8、8×16、16×16等块，这些取样的像素块代表了原图像帧各像素的灰度值，其范围在139-163之间，并依序送入DCT编码器，以便将取样块由时间域转换为频率域的DCT系数块。DCT系统的转换分别在每个取样块中进行，这些块中每个取样是数字化后的值，表示一场中对应像素的视频信号幅度值。
DCT和它解压时的反运算的具体算法如下。

当u,v = 0 时，离散余弦正变换（DCT）后的系数若为F(0,0)=1，则离散余弦反变换（IDCT）后的重现函数f(x,y)=1/8,是个常数值，所以将F(0,0)称为直流(DC)系数；当 u,v≠0时，正变换后的系数为F(u,v)=0，则反变换后的重现函数f(x,y)不是常数，此时正变换后的系数F(u,v)为交流（AC）系数。