由dct变换想到的

          最近在看图像量化，看到了DCT变换，感觉跟之前的有些东西可以结合起来，于是写了一小段总结。

      还是先从最简单的向量说起吧，我们有时希望将一个向量在不同的基底上表示，如果给定基底的话，则求基底的对应系数则转化为一个矩阵方程的格式，以四维为例，

，

F为变换矩阵，（这里也是4维，而且几个向量间是不相关的，矩阵是满秩的，所以方程是必然有解），于是矩阵乘向量也可以理解成为变换基底时对应坐标的变换。

将这个概念拓延到比较熟悉的傅里叶变换（以一维离散为例，连续的后面再另说），信号X的离散值对应右边的a矩阵，变换矩阵F则为

（u=0,1,2,3，N=4）。

左边b矩阵则为对应的变换系数，于是信号离散值可以理解为在DFT变换系数（也就是b）在变换矩阵几个向量基底的系数，然而离散傅里叶变换意义最鲜明的地方在于他的反变换，很明显这里变换矩阵向量不相关，所以存在逆矩阵，在这里，用相似的理解方式，DFT变换系数成了逆矩阵对应基向量（不同频率的信号）的系数，于是最终我们把信号的值表示成了不同频率的信号，这也就是它的意义所在。

       在图像处理中，变换矩阵有很多种，常见的DCT变换，K-L变换，从数学意义上来说，我们关注的是离散信号在不同的空间描述中系数的特性，DCT变换系数可以把图像的信息充分压缩到低频段，K-L变换可以降低信号的维度，将信息集中到少部分的系数里。

       现在再来看看连续的情况，我觉得连续函数可以看成一个无穷维的向量，它也可以展成系数乘以函数基底累加和的形式，最简单的以泰勒展开为例n趋近于无穷。

       我们求出了f（x）在这样一组基底上的空间的系数，但在这里基底函数之间虽然不相关，但是跟离散不同的是，很难指望用f（x）的值反过来去表示这些系数。可是有意思的是傅里叶变换做到了，能找到这样的函数基确实是件很伟大的事情。至于当中是否别有洞天，可能还需要揣摩，而且这里把函数看成无穷维向量，右边的系数矩阵也是无穷的，离散情况下他们维度应该是相同的，但在无穷的尺度下量级应该如何衡量呢？