堆的节点总数n和叶结点数目的关系 (CLRS习题 6.1-7)
来源:互联网 发布:知乎和百度贴吧 编辑:程序博客网 时间:2024/04/29 16:52
来自算法导论 CLRS的一个习题。Chapter 6 Heap Sort. Exercise6.1-7
Show that, with the array representationfor storing an n-element heap, the leaves are the nodes indexed by ⌊n/2⌋ + 1, ⌊n/2⌋ + 2, . . . , n.
首先用一个例子来验证,如图1所示,
非叶节点有20+21+22=1+2+4=7个,叶节点有K+1 (23=8)个。共有15个节点,叶结点开始于第8个,即第 [15/2]+1个,满足结论“叶结点开始于[n/2]+1”
然后开始证明,分为两种情况,完全二叉树和不完全二叉树。
证明之前先清楚高度的定义。一个节点的高度就是从这个节点到叶结点的路径包含的边的数目,树(包括二叉树,堆)的高度被定义为根节点的高度。
(1)如果是完全二叉树
如果是完全二叉树,假设非叶节点有K(20+21+22=1+2+4=7)个,叶节点有K+1 (23=8)个。
假设完全二叉树的高度为h,则
非叶子节点的数目20+21+22+…+2h-1=2h-1
叶子节点的数目2h
全部节点的数目2h+1-1
如果用n表示全部节点的数目,则n = 2h+1 –1 = 2h – 1 + 2h。显然叶子节点开始于[n/2]+1
(2)如果是不完全二叉树
假设不完全二叉树的高度为h,不完全二叉树显然是通过完全二叉树转化而来的。如图2和图3把完全二叉树的叶结点摘掉几个,就成为了不完全二叉树。
图2 图3
(2.1)摘掉2k个叶结点
假设摘掉了2k个叶结点,如图2。那么原来的2k个叶结点就没有了,并且,这2k个叶结点的k个父节点也转化为了叶结点。这意味着,非叶节点减少了k了,叶结点减少了2k个,增加了k个,所以一共减少了k个。此时,
非叶子节点的数目20+21+22+…+2h-1–k=2h–1–k
叶子节点的数目2h–k
全部节点的数目2h+1–2k–1
如果用n表示全部节点的数目,则n = (2h–1–k) + (2h–k) = 2(2h–1–k)+1,扣除前面的非叶子节点2h–1–k个之后, 显然叶子节点开始于[n/2]+1
(2.2)摘掉2k+1个叶结点
假设摘掉了2k+1个叶结点,如图3,那么原来的2k+1个叶结点就没有了,并且,这2k+1个叶结点的k个父节点也转化为了叶结点。这意味着,非叶节点减少了k了,叶结点减少了2k+1个,增加了k个,所以一共减少了k+1个。此时,
非叶子节点的数目20+21+22+…+2h-1–k=2h–k–1
叶子节点的数目2h–k–1
全部节点的数目2h+1–2k–2
如果用n表示全部节点的数目,则n = (2h–k–1) + (2h–k–1) = 2(2h–k–1),则扣除前面的非叶子节点2h–k–1个之后,不用取整刚好剩下n/2个节点,正是叶子节点。所以叶子节点开始于[n/2]+1
转载自http://blog.csdn.net/feliciafay/article/details/12869179
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