求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数

题目：

输入一个整数n，求从1到n这n个整数的十进制表示中1出现的次数。效率尽可能高。

例如：

f(2)=1

f(12)=5

f(20)=12

f(115)=44

解决方案：

最简单的方法是从1到n循环处理，计算每个数中1的个数，累加起来。这个效率很低。

第二种方法是累加从1到n的个位十位百位等等上面1的个数，对于32位整数运算次数不超过10次。

从1到n的个位数上面1的个数=(n+9)/10；

从1到n的十位数上面1的个数=?

举例分析一下，假设n=215，十位数上面有1的数是：

10..19,110..119,210..215

可以看出总共分3组，而且除掉最后一组，即前两组每组的十位数上1的个数都是10，最后一组十位数上1的个数是6。

一般化后，得到组数=((n/10)+9)/10，

最后一组十位数上1的个数：

=n%10+1，当n的十位数是1；

=10，当n的十位数不是1；

百位呢？只要将上面十位数上1的个数计算公式中的10换成100就可以了。

个位数的情况也可以认为像十位百位那样分组，所以处理个位十位百位的代码都是一样的，可以放在一个循环里。

int numberof1(int n)

{

                 const int base = 10;

                 const int max_digit=base-1;

                 int sum = 0;

                 int factor = 1;

                 int n2 = n;

                 // remainder of n/[1|10|100|1000|...]

                 // 分别表示 n%1, n%10, n%100, n%1000的余数

                 int remainder = 0;

                 while (n2>0)

                {

                                 // variable group_num is number of 1 in place of units, from 1 to n2

                                 // and equal to the number of group which has 1 in place of units/tens/hundreds/thousands/...(place is determined by factor)

                                 // 变量num_of_1_in_factor表示从1到n中factor(1/10/100/1000/...)所对应位(个位/十位/百位/千位/...)上有1的组数。

                                 int group_num = (n2+max_digit)/base;

                                 // variable num_of_1_in_factor is number of 1 in place of units/tens/hundreds/thousands/...(place is determined by factor), from 1 to n

                                 // 变量num_of_1_in_factor表示从1到n中factor(1/10/100/1000/...)所对应位(个位/十位/百位/千位/...)上1的个数。

                                 int num_of_1_in_factor;

                                 if ( n2 % base == 1)

                                {

                                                num_of_1_in_factor = (group_num-1) * factor + remainder+1;

                                }

                                 else

                                {

                                                num_of_1_in_factor = group_num * factor;

                                }

                                sum += num_of_1_in_factor;

                                n2 /= base;

                                factor *= base;

                                remainder = n % factor;

                }

                 return sum;

}

  

大家可以手工核对，也可以使用那个稳妥但低效的办法核对。我手工核对过，应该没有问题。

如果要找出其他进制如二进制表示上1的个数，只要把base换成对应数就可以了。