已知一个函数rand7()能够生成1-7的随机数，请给出一个函数rand10()，该函数能够生成1-10的随机数。

已知一个函数rand7()能够生成1-7的随机数，请给出一个函数rand10()，该函数能够生成1-10的随机数。

Posted on 2013-05-20 22:55 鑫龙 阅读(445) 评论(0)  编辑 收藏 引用 所属分类: 数据结构与算法 

题目：

已知一个函数rand7()能够生成1-7的随机数，请给出一个函数，该函数能够生成1-10的随机数。

思路：

假如已知一个函数能够生成1-49的随机数，那么如何以此生成1-10的随机数呢？

解法：

该解法基于一种叫做拒绝采样的方法。主要思想是只要产生一个目标范围内的随机数，则直接返回。如果产生的随机数不在目标范围内，则丢弃该值，重新取样。由于目标范围内的数字被选中的概率相等，这样一个均匀的分布生成了。

显然rand7至少需要执行2次，否则产生不了1-10的数字。通过运行rand7两次，可以生成1-49的整数，

   1  2  3  4  5  6  7 1  1  2  3  4  5  6  7 2  8  9 10  1  2  3  4 3  5  6  7  8  9 10  1 4  2  3  4  5  6  7  8 5  9 10  1  2  3  4  5 6  6  7  8  9 10  *  * 7  *  *  *  *  *  *  *

由于49不是10的倍数，所以我们需要丢弃一些值，我们想要的数字范围为1-40，不在此范围则丢弃并重新取样。

代码：

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1. int rand10Imp() {  
2.   int a, b, idx;  
3.   while (true) {  
4.     a = rand7();  
5.     b = rand7();  
6.     idx = b + (a-1)*7;  
7.     if (idx <= 40)  
8.       return 1 + (idx-1)%10;  
9.     a = idx-40;  
10.     b = rand7();  
11.     // get uniform dist from 1 - 63  
12.     idx = b + (a-1)*7;  
13.     if (idx <= 60)  
14.       return 1 + (idx-1)%10;  
15.     a = idx-60;  
16.     b = rand7();  
17.     // get uniform dist from 1-21  
18.     idx = b + (a-1)*7;  
19.     if (idx <= 20)  
20.       return 1 + (idx-1)%10;  
21.   }  
22. }  

下面计算下优化后方法的调用rand7函数的期望次数：

E(# calls to rand7) = 2 * (40/49) +                       3 * (9/49) * (60/63) +                       4 * (9/49) * (3/63) * (20/21) +                         (9/49) * (3/63) * (1/21) *                       [ 6 * (40/49) +                         7 * (9/49) * (60/63) +                         8 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] +                        ((9/49) * (3/63) * (1/21))2 *                       [ 10 * (40/49) +                         11 * (9/49) * (60/63) +                         12 * (9/49) * (3/63) * (20/21) ] +                       ...                      = 2.2123

这里期望次数为2.21，比起未优化的2.45次减少了大概10%。

本帖最后由 jerryz920 于 2010-07-08 20:34 编辑

这个其实和算法导论上的一个题很像么：已知random等概率返回0或者1，那么试写一个函数等概率返回[a,b]之间的整数。思路就是2进制表示[0, b-a]之间的数，先计算出至少需要多少位，按位生成一个二进制数，一旦大于b-a就重新生成。放到这里的话，表示成5进制就可以了~

推广一下：对于等概率可以生成k个连续整数函数的函数randomk，设计生成[a,b]之间的整数的算法：
令n = b - a;则等概率生成[0，n]上的一个整数即可。于是用k进制表示生成的整数，设m=ceiling(logk(n)),

1. int randN() {
   
2.   while (res > n) {
   
3.      for (i = 0; i < m; i++)  
   
4.          gen bit i for res with randomk
   
5.   }
   
6.   return res;
   
7. }

复制代码

期望的运行时间为t*m* i * (1 - (n+1)/k^m)^(i-1) * ((n+1)/k^m)，i从1加到无穷，t表示randomk的运行时间，那么计算这个级数的值为t*m*k^m/(n+1).
带入到这个题目，期望运行时间为50*t/7，还是很快的。