完数

完数

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描述

自然数中，完数寥若晨星，请在从1到某个整数范围中打印出所有的完数来。所谓“完数”是指一个数恰好等于它的所有不同因子之和。例如，6是完数，因为6=1+2+3。而24不是完数，因为24≠1+2+3+4+6+8+12＝36。

输入

输入数据中含有一些整数n（1＜n＜10000）。

输出

对于每个整数n，输出所有不大于n的完数。每个整数n的输出由n引导，跟上冒号，然后是由空格开道的一个个完数，每个n的完数列表应占独立的一行。

样例输入

100
5000

样例输出

100: 6 28
5000: 6 28 496

题目来源

ZJUT

分析：难题——超时。

完全数性质：

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1.所有的完全数都是三角形数
例如：
6=1+2+3
28=1+2+3+...+6+7
496=1+2+3+...+30+31
8128=1+2+3…+126+127
2.所有的完全数的倒数都是调和数
例如：
1/1+1/2+1/3+1/6=2
1/1+1/2+1/4+1/7+1/14+1/28=2
1/1+1/2+1/4+1/8+1/16+1/31+1/62+1/124+1/248+1/496=2
3.可以表示成连续奇立方数之和
除6以外的完全数，都可以表示成连续奇立方数之和，并规律式增加。例如：
28=1³+3^3
496=1^3+3^3+5^3+7^3
8128=1^3+3^3+5^3+……+15^3
33550336=1^3+3^3+5^3+……+125^3+127^3
4.都可以表达为2的一些连续正整数次幂之和
不但如此，而且它们的数量为连续质数。例如：
6=2^1+2^2
28=2^2+2^3+2^4
496=2^4+2^5+2^6+2^7+2^8
8128=2^6+2^7+2^8+2^9+2^10+2^11+2^12
33550336=2^12+2^13+……+2^24
5.完全数都是以6或8结尾
如果以8结尾，那么就肯定是以28结尾。（科学家仍未发现由其他数字结尾的完全数。）
6.各位数字辗转式相加个位数是1
除6以外的完全数，把它的各位数字相加，直到变成个位数，那么这个个位数一定是1。例如：
28：2+8=10，1+0=1
496：4+9+6=19，1+9=10，1+0=1
8128：8+1+2+8=19，1+9=10，1+0=1
33550336:3+3+5+5+0+3+6=28,2+8=10,1+0=1
7.它们被3除余1、被9除余1、1/2被27除余1
除6以外的完全数，它们被3除余1、9除余1、还有1/2被27除余1。
28/3 商9，余1
28/9 商3，余1
28/27 商1，余1
496/3 商165，余1
496/9 商55，余1
8128/3 商2709，余1
8128/9 商903，余1
8128/27 商301，余1

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我的写法（超时了）

#include<stdio.h>//完数——超时int main(){int n;while(scanf("%d",&n) != EOF){printf("%d:",n);for(int max=6;max<=n;max++){int sum = 1;for(int i=2;i<=max/2;i++){if(max%i == 0)sum += i;}if(max == sum)printf(" %d",max);}printf("\n");}return 0;}

不行，另想他法

#include<stdio.h>#include<math.h>int main(){int n, p, i, t1, t2, tmp;while(scanf("%d",&n) != EOF){printf("%d:",n);for(p=2;;p++){t1=(int)pow(2.0, 2*p-1);t2=(int)pow(2.0, p-1);if(t1-t2 > n)break;tmp=(int)pow(2.0, p)-1; // tmp为素数——则t1-t2为完全数for(i=2;i<=(int)sqrt(tmp*1.0);i++){if(tmp%i == 0)break;}if(i > (int)sqrt(tmp*1.0)) // 都不整除printf(" %d",t1-t2);}printf("\n");}}

一开始计算好1~10000的完数即可，注意优化，完数都是偶数：

#include<iostream>#include<vector>using namespace std;int main(){vector<int> vec;for(int i=2;i<10000;i=i+2){int sum = 1;for(int j=2;j<=i/2;j++){if(i%j == 0) sum += j;}if(sum == i) vec.push_back(i);}int n;while(cin>>n){cout<<n<<":";for(int i=0;i<vec.size();i++)if(vec[i] <= n)cout<<" "<<vec[i];cout<<endl;}return 0;}