【原理思路】二项堆各基本操作编程思路

一个二项堆是由一组二项树组成的；

二项式树Bk有如下性质：（k可为0）

（1）共有2^k个结点；

（2）树的高度为k；

（3）在深度i处有（k，i）（k!/i!/(k-i)!）个结点；

（4）根的度数为k，它大于任何结点的度数；如果从根的子女从左到右编号为k-1，k-2，....0，子女i是子树Bi的根；

两种视图看二项树如下：

二项堆的性质

（1）二项堆的每个二项树都遵循最小堆性质，结点的关键字大于或等于其父节点的关键字；

（2）对于任意非负数k，在H中至多有一颗二项树的根具有度数；

（3）一颗具有n个结点的二项堆，包含至多的lgn+1棵二项树；

（4）二项树的表示：

（4.1）使用左孩子，右兄弟的表示方式存储；

（4.2）每个节点都有一个关键字其其他应用要求而定的卫星数据；

（4.3）每个节点包含指向父节点的指针parent；（根节点，该域为空）；

（4.4）指向其最左的孩子的指针l_child；（节点没有孩子，该域为空）；

（4.5）指向其邻近右兄弟的指针r_sibling；（父节点最右的孩子，该域为空；对于根节点指向下一个根，而非根节点是指向其邻近右兄弟）；

（4.6）包含度数域degree；

（5）有头指针Head指向第一个根；

（6）遍历根表时，各根的度数是严格递增的；

二项堆寻找最小关键字

（1）由二项堆的性质，最小关键字必在根节点中，故遍历一下根表即可；

（2）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);

合并两个二项堆

（1）合并两个二项堆前，先要把这两个堆合并成一个按度数递增次序排列的链表；

（2）此时有4钟情况，需要考虑，具体是下图：

（2.1）对于情况1，degree(x) != degree(x->next) ，只需往后面移动即可；

（2.2）对于情况2，degree(x) = degree(x->next) =degree(slibing(x->next))，也只是往后移动，就到了情况3或情况4；

（2.3）对于情况3，degree(x) = degree(x->next)！=degree(slibing(x->next))，当key(x) <=key(x->next)时的情况；

（2.4）对于情况4，degree(x) = degree(x->next)！=degree(slibing(x->next))，当key(x) > key(x->next)时的情况；

（3）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);

二项堆的节点插入

（1）可以将这个节点看成是一个只有一个节点的二项堆；执行上面的二项堆合并过程；

（2）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);

抽取具有最小关键字的节点

（1）其实就是将某个二项树的最小值，各子树抽离出来，依旧按照上面的要求排序后，按合并两个二项堆的规则重新组成一个二项堆；

（2）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);

减小关键字的大小

（1）若更新值k>原来key，则返回错误；各孩子的值是乱序的；增大关键字的大小见下面的操作；

（2）若更新值k<原来key，则向上回溯哦，找到合适的位置；

（3）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);

删除关键字

（1）将该关键字的大小变为-oo；执行上面的减小关键字的大小过程

（2）将该关键字的大小变为-oo；执行上面的抽取具有最小关键字的节点过程

（3）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);

增大关键字的大小

（1）先删除关键字，然后再插入二项堆的节点；

（2）时间复杂度为O(lgn)，空间复杂度为O(1);