最大流的算法——Edmonds-Karp算法(最短路径增广算法)

最大流的算法——Edmonds-Karp算法(最短路径增广算法)

 

这里介绍一个最简单的算法:Edmonds-Karp算法 即最短路径增广算法 简称EK算法

 

EK算法基于一个基本的方法:Ford-Fulkerson方法 即增广路方法 简称FF方法

 

增广路方法是很多网络流算法的基础 一般都在残留网络中实现

 

其思路是每次找出一条从源到汇的能够增加流的路径 调整流值和残留网络 不断调整直到没有增广路为止

 

FF方法的基础是增广路定理(Augmenting Path Theorem):网络达到最大流当且仅当残留网络中没有增广路

 

要实现这个算法，就遇到了三个问题：

 

(1)最多要增广多少次?

 

可以证明 最多O(VE)次增广 可以达到最大流 证明略

 

(2)如何找到一条增广路?

 

先明确什么是增广路: 增广路是这样一条从s到t的路径 路径上每条边残留容量都为正

 

把残留容量为正的边设为可行的边 那么我们就可以用简单的BFS得到边数最少的增广路

 

(3)BFS得到增广路之后 这条增广路能够增广的流值, 是路径上最小残留容量边决定的

 

把这个最小残留容量MinCap值加到最大流值Flow上, 同时路径上每条边的残留容量值减去MinCap

 

最后,路径上每条边的反向边残留容量值要加上MinCap

 

 

 

看一个具体的增广路算法的例子吧