gcd详解（Eculid && exEuclid && Stein）



gcd详解：

（1）欧几里德算法 /辗转相除法: （计算两个数的最大公约数）

（1.1）定理 ：
 gcd(a,b) = gcd(b,a mod b)
（1.2）证明 ：
 a可以表示成a = kb + r，则r = a mod b
假设d是a,b的一个公约数，则有
d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公约数。
因此(a,b)和(b,a mod b)的公约数是一样的，
其最大公约数也必然相等。
（1.3）代码实现 ：
 （1.3.1）递归 ：
 /* 均是在a>=b前提下的* /
 int Gcd(int a, int b)
{
    if(b == 0)
        return a;
    return Gcd(b, a % b);
}
 （1.3.2）非递归 ：
int Gcd(int a, int b)
{
    while(b != 0)
    {
        int r = b;
        b = a % b;
        a = r;
    }
    return a;
}

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（2）扩展的欧几里得 ：

（2.1）思想：

在已知a, b求解一组p，q使得p * a+q  * b = Gcd(a, b)
 (解一定存在，根据数论中的相关定理)。扩展欧几里德常用在求解模线性方程及方程组中。

 （2.2）代码实现 ：
/*

ax+by=gcd(a,b);

输入： a,b
输出： 组合数x，y；函数返回值为gcd(a,b);

*/
int exGcd(int a, int b, int &x, int &y)
{
    if(b == 0)
    {
        x = 1;
        y = 0;
        return a;
        /*a与0的最后公约数为a
       然后ax+by=a
       即ax+0y=a
       所以x=1
        */
    }

    int r = exGcd(b, a % b, x, y);
    int t = x;

    x = y;
    y = t - a / b * y;

    return r;
}

分析：这个实现和Gcd的递归实现相比，发现多了下面的x,y赋值过程，这就是扩展欧几里德算法的精髓。

对于a' = b, b' = a % b 而言，我们求得 x, y使得 a'x + b'y = Gcd(a', b')
由于b' = a % b = a - a / b * b (注：这里的/是程序设计语言中的除法)
那么可以得到:
a'x + b'y = Gcd(a', b')  ===>
 bx + (a - a / b * b)y = Gcd(a', b') = Gcd(a, b)  ===>
 ay +b(x - a / b*y) = Gcd(a, b)
因此对于a和b而言，他们的相对应的p，q分别是 y和(x-a/b*y)。

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（3）Stein算法求最大公约数 ：（抛弃除法以及取模，只有整数的移位以及加减法）
对于大素数Stein将更有优势。

（3.1）理论基础 ：

gcd(a,a) = a；
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b)；

（3.2）步骤 ：

 （1）如果A=0，B是最大公约数，算法结束
 （2）如果B=0，A是最大公约数，算法结束
 （3）设置A1 = A、B1=B和C1 = 1
 （4）如果An和Bn都是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn /2，Cn+1 =Cn *2(注意，乘2只要把整数左移一位即可，除2只要把整数右移一位即可)
 （5）如果An是偶数，Bn不是偶数，则An+1 =An /2，Bn+1 =Bn ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
 （6）如果Bn是偶数，An不是偶数，则Bn+1 =Bn /2，An+1 =An ，Cn+1 =Cn (很显然啦，2不是奇数的约数)
 （7）如果An和Bn都不是偶数，则An+1 =|An -Bn|，Bn+1 =min(An,Bn)，Cn+1 =Cn
 （8）n++，转4

（3.3）代码实现 ：

int Gcd(int a, int b)
{
    if(a == 0) return b;
    if(b == 0) return a;
    if(a % 2 == 0 && b % 2 == 0) return 2 * gcd(a >> 1, b >> 1);
    else if(a % 2 == 0)  return gcd(a >> 1, b);
    else if(b % 2 == 0) return gcd(a, b >> 1);
    else return gcd(abs(a - b), Min(a, b));
}