最小公约数(欧几里得算法&&stein算法)
来源:互联网 发布:mac照片存储位置 编辑:程序博客网 时间:2024/05/18 15:05
求最小公约数,最容易想到的是欧几里得算法,这个算法也是比较容易理解的,效率也是很不错的。也叫做辗转相除法。
对任意两个数a,b(a>b),d=gcd(a,b),如果b不为零,那么gcd(a,b)=gcd(b,a%b)
证明: 令 r=a%b,即存在k,使得 a=b*k+r,那么r=a-b*k;显然r>=0, r%d=((a%d)-(b*k)%d)%d,因为a%d=b%d=0,所以r%d=0;
因此求gcd(a,b)可以转移到求gcd(b,a%b),那么这就是个递归过程了,那什么时候递归结束呢,想一下,a,b不能为零,则可以把当b为零,作为递归的结束(当然还可以以其它结束条件),这就是求最大公约数的方法可以以其它结束条件),这就是求最大公约数的方法。
欧几里得递归版:
int gcd(int a,int b){ if(b==0) return a; else return gcd(b,a%b);}非递归版:
int gcd(int a,int b)//euclid{ int r; while(b!=0) { r=a%b; a=b; b=r; } return a;}
Stein算法
欧几里德算法是计算两个数最大公约数的传统算法,他无论从理论还是从效率上都是很好的。但是他有一个致命的缺陷,这个缺陷只有在大素数时才会显现出来。
硬件平台,一般整数最多也就是64位,对于这样的整数,计算两个数之间的模是很简单的。对于字长为32位的平台,计算两个不超过32位的整数的模,只需要一个指令周期,而计算64位以下的整数模,也不过几个周期而已。但是对于更大的素数,这样的计算过程就不得不由用户来设计,为了计算两个超过 64位的整数的模,用户也许不得不采用类似于多位数除法手算过程中的试商法,这个过程不但复杂,而且消耗了很多CPU时间。对于现代密码算法,要求计算 128位以上的素数的情况比比皆是,设计这样的程序迫切希望能够抛弃除法和取模。
Stein算法由J. Stein于1961年提出,这个方法也是计算两个数的最大公约数。和欧几里德算法不同的是,Stein算法只有整数的移位和加减法,这对于程序设计者是一个福音。
为了说明Stein算法的正确性,首先必须注意到以下结论:
gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除
当k不能整除b,gcd(ka,b)=gcd(a,b),也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地,当k=2时,说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时,可以先将偶数除以2。
算法步骤:gcd(a,a) = a,也就是一个数和他自身的公约数是其自身
gcd(ka,kb) = k gcd(a,b),也就是最大公约数运算和倍乘运算可以交换,特殊的,当k=2时,说明两个偶数的最大公约数必然能被2整除
当k不能整除b,gcd(ka,b)=gcd(a,b),也就是约掉两个数中只有其中一个含有的因子不影响最大公约数。特殊地,当k=2时,说明计算一个偶数和一个奇数的最大公约数时,可以先将偶数除以2。
1、如果A=0,B是最大公约数,算法结束
2、如果B=0,A是最大公约数,算法结束
3、设置A1=A、B1=B和C1=1
4、如果An和Bn都是偶数,则An+1=An/2,Bn+1=Bn/2,Cn+1=Cn*2(注意,乘2只要把整数左移一位即可,除2只要把整数右移一位即可)
5、如果An是偶数,Bn不是偶数,则An+1=An/2,Bn+1=Bn,Cn+1=Cn(很显然啦,2不是奇数的约数)
6、如果Bn是偶数,An不是偶数,则Bn+1=Bn/2,An+1=An,Cn+1=Cn(很显然啦,2不是奇数的约数)
7、如果An和Bn都不是偶数,则An+1=|An-Bn|/2,Bn+1=min(An,Bn),Cn+1=Cn
8、n加1,转1
比较好理解吧,实现起来也比较简单,效率也不比员算法差;
下面是实现的代码:
#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <cstdlib>#include <algorithm>using namespace std;int stein(int a,int b){ if(a==0) return b; if(b==0) return a; if(a%2==0 && b%2==0) return 2*stein(a>>1,b>>1); else if(a%2==0) return stein(a>>1,b); else if(b%2==0) return stein(a,b>>1); else return stein(abs(a-b),min(a,b));}int main(){ int a,b; scanf("%d%d",&a,&b); printf("%d\n",stein(a,b));}
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