判定一个点是否在多边形内部

问题

假设我们有一个多边形由n个点组成Pn={p1,p2,p3,p4,p5...pn} , 求一个点p(x,y)是否在多边形内？
在图形编程中，坐标的利用是不可忽视的。在这里判断一个点是否在多边行内部（可以包括线上）就要利用到各个点的坐标关系。下面开始讨论具体的方法。

解决

首先要讲究速度，在运行复杂的算法之前，我们首先做一个简单的判定。在多边形的顶点中分别找出X坐标和Y坐标的最小/最大值。比如，你有点(9,1),(4,3),(2,7),(8,2),(3,6)所围成的多边形。那么Xmin为2, Xmax为9, Ymin为1 而 Ymax为7。现在我们知道你的多边形中没有一个点的X坐标比2小或者比9大，也没有一个点的Y坐标比1小或者比7大。这样你就可以快速排除很多不在多边形中的点：

// p is your point, p.x is the x coord, p.y is the y coordif (p.x < Xmin || p.x > Xmax || p.y < Ymin || p.y > Ymax) {// Definitely not within the polygon!}

这是第一个判定条件，如果在这一步已经把问题所要求的p(x,y)排除在多边形之外了(虽然这只是个非常粗糙的测试！)，那么就没必要进行下面判定了，非常"速度"吧？

如果上面的判定没排除掉p(x,y)，说明这个点是在多边形的坐标边界之内的，但并不意味着这个点就在多边形内了。我们需要一个更复杂一点的算法去判定这个点是否真在多边形内，当然我们有很多选择。以下是一些多边形的例子(凸多边形、凹多边形、"有洞"的多边形）

最简单的方法是使用射线法，因为它能适用于所有类型的多边形，不用考虑特殊的情况而且速度也比较快。该算法的思想很简单：在多边形外面任意一点画一条虚拟的射线到p(x,y)然后计算该射线与多边形上的边相交的次数。如果该次数是偶数，说明p(x,y)在多边形外，如果是奇数，则在多边形内。

对于那些离多边形的边非常非常近的点来说(玩找茬的高手都看不出这些点到底在里面还是外面...），环绕数算法更准确，对于这些点由于浮点数精度和舍入的问题，射线法可能会失败。但是环绕数算法速度很慢很慢，如果你不在意这些很近很近的点，就简单点吧！

还记得上面的那些边界坐标吧？我们可以这样画射线：

• (Xmin - e, p.y) 到p(x,y)
• p(x,y)到(Xmax + e, p.y)
• (p.x, Ymin - e)到p(x,y)
• p(x,y)到(p.x, Ymax + e)

随便选一条吧，只要记住这个射线的起始点分别是多边形外和p(x,y).
那e又是干什么的？e相当于边界外的一个缓冲区，因为上面说过，射线法对于离多边形很近的点会失败。e应该选多大？不用太大，取决于你的多边形的坐标大小，你可以将e取为1.0，但如果你多边形的坐标都很小，0.001都足够大了，或者你可以这样计算e:

e = ((Xmax - Xmin) / 100)

到这里我们有射线了！那么问题从"这个点是否在多边形内"变成了"射线和多边形的边相交几次"，那么现在我们需要的是边了，每条边都是由两个顶点定义的：

边1: (X1/Y1)-(X2/Y2)边2: (X2/Y2)-(X3/Y3)边3: (X3/Y3)-(X4/Y4):

把射线和多边形的每一条边都想象成一个向量，射线跟每一条边不是相交一次就是不相交。

// Test the ray against all sidesint intersections = 0;for (side = 0; side < numberOfSides; side++) {    // Test if current side intersects with ray.    // If yes, intersections++;}if ((intersections & 1) == 1) {    // Inside of polygon} else {    // Outside of polygon}

快要完成了，最后就是怎么判断两个向量是否相交，以下是相关代码：

#define NO 0#define YES 1#define COLLINEAR 2int areIntersecting(    float v1x1, float v1y1, float v1x2, float v1y2,    float v2x1, float v2y1, float v2x2, float v2y2) {    float d1, d2;    float a1, a2, b1, b2, c1, c2;    // Convert vector 1 to a line (line 1) of infinite length.    // We want the line in linear equation standard form: A*x + B*y + C = 0    // See: http://en.wikipedia.org/wiki/Linear_equation    a1 = v1y2 - v1y1;    b1 = v1x1 - v1x2;    c1 = (v1x2 * v1y1) - (v1x1 * v1y2);    // Every point (x,y), that solves the equation above, is on the line,    // every point that does not solve it, is either above or below the line.    // We insert (x1,y1) and (x2,y2) of vector 2 into the equation above.    d1 = (a1 * v2x1) + (b1 * v2y1) + c1;    d2 = (a1 * v2x2) + (b1 * v2y2) + c1;    // If d1 and d2 both have the same sign, they are both on the same side of    // our line 1 and in that case no intersection is possible. Careful, 0 is    // a special case, that's why we don't test ">=" and "<=", but "<" and ">".    if (d1 > 0 && d2 > 0) return NO;    if (d1 < 0 && d2 < 0) return NO;    // We repeat everything above for vector 2.    // We start by calculating line 2 in linear equation standard form.    a2 = v2y2 - v2y1;    b2 = v2x1 - v2x2;    c2 = (v2x2 * v1y1) - (v2x1 * v2y2);    // Calulate d1 and d2 again, this time using points of vector 1    d1 = (a2 * v1x1) + (b2 * v1y1) + c2;    d2 = (a2 * v1x2) + (b2 * v1y2) + c2;    // Again, if both have the same sign (and neither one is 0),    // no intersection is possible.    if (d1 > 0 && d2 > 0) return NO;    if (d1 < 0 && d2 < 0) return NO;    // If we get here, only three possibilities are left. Either the two    // vectors intersect in exactly one point or they are collinear    // (they both lie both on the same infinite line), in which case they    // may intersect in an infinite number of points or not at all.    if ((a1 * b2) - (a2 * b1) == 0.0f) return COLLINEAR;    // If they are not collinear, they must intersect in exactly one point.    return YES;}

这么长？我和我的小伙伴们都惊呆了，有木有再简单一点的？

当然有。如果上面的没看懂，那就直接套用下面的函数

int pnpoly(int nvert, float *vertx, float *verty, float testx, float testy){  int i, j, c = 0;  for (i = 0, j = nvert-1; i < nvert; j = i++) {    if ( ((verty[i]>testy) != (verty[j]>testy)) &&     (testx < (vertx[j]-vertx[i]) * (testy-verty[i]) / (verty[j]-verty[i]) + vertx[i]) )       c = !c;  }  return c;}

参数：

• nvert: 多边形的顶点数
• vertx, verty: 顶点X坐标和Y坐标分别组成的数组
• testx, testy: 需要测试的点的X坐标和Y坐标

7行代码，简洁，明了，当然，如果你的多边形是可能"有孔"的，还是需要单独考虑的。

参考资料