【算法拾遗】阶乘

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前言

    主要看两道有关阶乘的题目，从中可以看出一些规律来。

题目一

    N！末尾0的个数

    找末尾0出现的个数，那我们就要找产生0的乘数，即哪些数相乘会得到10。我们需要对N！进行质因数分解，由于10 = 2*5，因此0的个数至于N！中2和5出现的的对数有关，而能被2整除的数出现的频率比能被5整除的数要多得多，因此我们找出N！中质因数5出现的个数，即为N！末尾0的个数。

    方法一

    最直接的方法，就是计算1-N中每个数的因式分解中5的个数，然后相加，代码如下：

int FactorialNum0_1(int n){int count = 0;int i;for(i=1;i<=n;i++){int j = i;while(j%5 == 0){count++;j /= 5;}}return count;}

    这种方法的时间复杂度为O(n)。

    方法二

    方法一中对不含质因数5的数也进行了判断，时间复杂度较高。

    第二种方法要用到如下结论：

    N！中含有的质因数k的个数为：[N/k]+[N/k^2]+[N/k^3]+...（总会存在一个t,使得k^t>N,便有[N/k^t]=0）

    这个公式的证明并不难，自己尝试去理解下，其中[N/k]等于1，2，3...N中能被k整除的数的个数。

    用该方法写成的代码如下;

int FactorialNum0_2(int n){int count = 0;while(n){count += n/5;n /= 5;}return count;}

    该方法的时间复杂度为O(log5n)(这里是以5为底n的对数)。

题目二

    N！二进制表示中最低位1的位置

    比如3！为6，二进制为1010，那么最低位的1的位置为2，这里最左边的位置从1开始计算。

    方法一

    我们假设最低位的1的位置为第k位，则N！=2^(k-1)+...+2^t+...+2^p+...，这里t，p等意味着后面的第t+1位，第p+1位也为1，且p>t>k。这样很容易看出来，N！中质因数2的个数为k-1个，也就是说，最低位1的位置即为N！中质因数2的个数加1，因此问题又转化为了求N！中质因数2的个数了，同样利用结论：

N！中含有的质因数k的个数为：[N/k]+[N/k^2]+[N/k^3]+...（总会存在一个t,使得k^t>N,便有[N/k^t]=0）

    这样写出的代码如下：

int Lowest1(int n){int count = 0;while(n){count += n/2;n /= 2;}return count + 1;}

    该方法时间复杂度为O(log2n)(这里是以2为底n的对数)。

    方法二

    用如下结论：N！中含有质因数2的个数，等于N减去N的二进制表示中1的个数，关于如何求N的二进制表示中1的个数，参考我的这篇博文；http://blog.csdn.net/ns_code/article/details/25425577，最快的方法的操作步骤只与二进制中1的个数相等，因此这种方法的时间复杂度更好一些，虽然方法一已经很快了，这种方法的时间复杂度为O(k)，其中k为N！中1的个数。这种方法的代码不再给出。