Introduction to Probability (4) Counting

当我们计算概率的时候，假设样本空间中的各个样本发生的概率均等，那么，时间A发生的概率为：

所以我们只需要计算时间A包含的样本个数，比上总的样本数，就能得到事件A发生的概率。

基本的counting原则

假设一次实验共有r个阶段，每个阶段有ni种选择，那么总的样本空间是各个阶段的各种选择的乘积。

排列permutation与组合combination

当我们要从n个样本中选取k个样本时，我们所面临的是一个组合问题，这个时候如果需要考虑顺序，那么就变成了一个排列问题。

组合

以下是从n个样本中选取k个的组合表达式：

我们有两种方法去得到从n个样本中选取k个，并考虑顺序的结果。

第一种方法是直接用排列的方式，k个座位虚位以待，按照次序从n个样本中选取样本放入座位，那么选择的个数从n递减至n-k+1

第二种方法是首先用组合的方式选出来k个样本，然后再排序。

所以通过两种方法，我们得到：

组合的经典应用场景是binomial分布的计算，如下例，掷硬币n次，其中k次是head，那么用组合的方式从n中选取k次。

Partitions 

最后要讲一下分堆的问题，比如将一个含有n个样本的集合分成n1，n2........nr堆，那么我们总共的选择有多少种呢？

首先从n中选取n1个样本，接下来从n-n1个样本中选取n2个样本，一直到最后，表达如下式：

接着将其展开：

整理可得：

总结：

一个常见的概率问题可以分为以下几步：

1.样本空间的描述，即一个实验的所有可能输出。

2.每个事件发生的概率。

3.根据要求计算概率或者条件概率。

几种常用的方法：

1.counting

2.sequential method

3.divide-conquer