UVa 11121 - Base -2 负进制的转化和推广

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题目大意就是给你一个-1000,000,000到1000,000,000的数转化成-2进制。

看到-2就想到了2进制，原先想两位两位地考虑，然后看成2进制的，接下来求一下方程的正数解就行了，然后将那些数全都转化成0和1，后来又发现。。每项之间差了4倍，顿时就不行了。接着想着是不是能将 (-2)^k 和 2^k 联系起来，那问题就简单了。

后来看到了一个式子，顿时有了点灵感 : (4)^3 = (-4)^4 + (4 - 1) * (-4)^3

想了想后总结出来了一个结论

①当k是奇数的时候， 2^k = (-2)^(k+1) + (-2)^k;

②当k是偶数的时候， 2^k = (-2)^k;

推导的过程中也有遇到一些问题，一直想把偶数和奇数的情况联系在一起，但是感觉做不到，而且可能会出现负数，出现负数就不好处理了。

有了以上的结论，差不多就可以开始动手了。但是突然想到，负数的话，算出来的东西就会出问题了，想了想，负数和整数应该有类似的结论，经过尝试后推倒出这样的结论。

①当k是奇数的时候， -2^k = (-2)^k;

②当k是偶数的时候， -2^k = (-2)^(k + 1) + (-2)^(k + 1);

接下来就开始写代码了，但是测试了一下，一些数转化后出现了让人觉得很囧的大于1的数字，突然想到还要经行进位处理。想了想挺容易推导的，但是注意最好不要出现负数的情况，不然就不好处理了。

2 * (-2)^k = (-2)^(k + 1) + (-2)^(k + 2);

于是进位的操作就ok了

但程序到这里还是有bug的，试了一下1000,000,000，结果发现后面的结果还是很正常，前面多出了个4，顿时觉得很纳闷，然后认真地调试了下，发现出现了一个4和2的循环，高位的系数是2，低位的系数是4，突然反应过来，完全是可以抵消掉的，但是没有抵消就出现了4和2的循环。

ans[k+1] = 2ans[k];

每次进位前先进行抵消操作，然后开始进位，接下来程序终于没了bug了，顺利AC了。

其实这个还是可以推广的，按照刚才的公式，我们假设现在是（-b）进制，有以下的结论

n为正数

①当k为奇数的时候，b^k = (-b)^(k + 1) + (b - 1) * (-b)^k

②当k为偶数的时候，b^k = (-b)^k;

n为负数

①当k为奇数的时候，- b^k = (-b)^k;

②当k为偶数的时候，- b^k = (-b)^(k + 1) + (b - 1) * (-b) ^ k;

进位：

①当k为偶数的时候，b * (-b)^k = (-b)^(k + 1);

②当k为奇数的时候，b * (-b)^k = - b^(k + 1) = - (-b)^(k + 1) = - b^(k + 1) = (-b)^(k + 2) + (b - 1) * (-b)^(k + 1);

抵消

ans[k+1] = b * ans[k];

上代码

#include<cstdio>#include<cstring>#include<iostream>using namespace std;typedef long long LL;const int MAXN = 64 + 5;int n, flag;int ans[MAXN];int main(){int tCase;while(scanf("%d", &tCase) != EOF)for(int T = 1; T <= tCase; ++ T){flag = 1;scanf("%d", &n);memset(ans, 0, sizeof(ans));if(n < 0){flag = 0;n = ~n + 1;}//转化for(int i = 0; i < 31; ++ i)if(n & (1 << i)){++ans[i];if((i & 1) == flag)++ans[i + 1];}//进位for(int i = 0; i < MAXN - 1; ++ i){//抵消if(ans[i] >= ((ans[i + 1] >> 1) << 1)){ans[i] -= ((ans[i + 1] >> 1) << 1);ans[i + 1] -= (ans[i + 1] >> 1);}while(ans[i] > 1){++ans[i + 1];++ans[i + 2];ans[i] -= 2;}}printf("Case #%d: ", T);for(int i = MAXN - 1; i > 0; -- i)if(ans[i] != 0){for(int j = i; j > 0; --j)putchar(ans[j] + '0');break;}putchar(ans[0] + '0');putchar('\n');}return 0;}