（向量空间）概念和法则的人为定义 I

知道《线性代数应该这样学》一书源于贺利坚老师的“程序员与线性代数”博文。

读此书的动机：在浅显领悟能力下学习线性代数皮毛之余，希望自身的“看书习惯”和“耐心”得到训练。边读边作下不成熟的读书笔记。

1. 运算法则

运算法则描述客观存在的现象。运算法则的含义由人为规定的运算符号表达。

现实生活中，每年买一本书，到第二年年底就会有两本书。数学中，用加法运算法则描述第二年年底有两本书的现象，在数学表达式中用加法运算符号将这个过程清楚的表示出来：1 + 1 = 2（本）。

2. 向量空间

人为定义向量空间来容纳“向量”、“向量加法”和“向量标量乘法”及三者的性质。让“向量空间”作为几者的家。

“向量”是人为定义，在平面和空间中抽象出了一个新的东西：始于“原点”的箭头。“向量加法”和“向量标量乘法”分别是在标量（数）的加法和乘法基础之上人为定义的一种运算法则，用来描述“向量”间的关系。

向量空间是满足“向量加法”和“向量标量乘法”法则的集合（向量集），已包含了书中的6个性质[1.2章节 page₁₉]。在二维空间内，向量的加法和标量乘法有较为明显的几何含义。

Figure1.实向量加法在二维空间的几何含义

上图表示二维平面中的向量加法的几何过程，在书中，此过程完全是按照向量加法法则的代数定义来实现的：a +b的代数含义是将两向量的横、纵坐标分别相加。书中定义的向量的始点都在原点，代数下，可计算得到a + b的和c的终点坐标为（5, 2）；几何下，a + b的c的终点是b起点基于a终点按照原来的长度和方向延长出去得到b’的终点。

书中是先定义代数之上的“向量加法法则”，然后用几何方式形象的描述了“向量加法法则”的实质。为什么凭空就如此（各坐标对应作和的法则）定义“向量加法法则”。它必是能够描述某种有用的现象（对象，性质），所以定义是被反推出来的，此时的定义既能够描述物理对象（向量）也能够描述它的性质（运算法则下的交换律等）。标量乘法也是如此。

3. 子空间

 A subset U of V is called a subspace of V if U is also a vector space (using the same addition and scalar multiplication as on V).

如果U也是向量空间（采用与V相同加法和标量乘法）且U为V的子集时，那么U称为V的子空间。[V是实数和复数集下的向量空间]

只要是向量空间，则它必须能够容纳自定义的“向量”这个对象（要有单位元0向量），还要满足向量的“加法”和“标量乘法”法则。被定义的子空间用来描述组成向量空间的更小维空间，如3维空间下的平面。[2014.6.8-11:47]

4. 向量空间的和与直和

(1) [向量空间的和]

“向量空间和”的定义来时似天外飞仙般突然。“向量空间和”的定义建立在子空间和向量的基础之上。根据其定义可以描述这样一个事实：子空间按照“向量空间和”法则运算后可以组成更高维的向量空间，定义“向量空间和”的动机可能就是来源于此处。“向量空间”的本质是“向量对象”及“向量的加法和标量乘法法则”，“向量空间和”即是用“向量”及其“法则”去描述。“向量空间和”使每个向量空间中的元素（向量）和其它参加作和的向量空间中的所有元素作和（向量加法法则）。可以用几何形象的认识到“向量空间和”及“所有”的含义：

Figure2：二维向量空间子空间作和含义

X ={(x, 0)}，Y = {(0, y)}为二维实向量空间T = {(x, y)}（x, y属于实数）的子空间。根据“向量空间和”的定义，X + Y = T即它表示了整个二维平面（得到了二维平面中的所有向量对象）：每取X（Y）中的一个向量，需要枚举Y（X）中的向量来作和得到一个新的向量，取完X（Y）中的向量为止。所有的新向量构成了二维实平面。

(2) [向量空间的直和]

将“向量空间和”的一种特殊情况定义为“向量空间的直和”。“向量空间直和”描述了这么一个事实：可以用“较特殊的子空间”通过“向量空间和”来组成一个更高维的向量空间。

如X = {(x, 0)}，Y= {(0, y)}两个二维向量空间的子空间通过“向量空间和”法则来描述了俩子空间组成二维实向量空间的过程。A = {x, 0, 0}，B = {0, y, z}两个三维向量空间的子空间通过“向量空间和”法则组成三维向量空间。

(3) [简单的向量空间和的验证]

U ={(x, 0, 0)}，W = {(0, y, 0)}，Y = {(y, y, 0)}，省略书中的限制条件。因为只是三维空间和，U + W的过程可以根据Figure 2类似的形象描述得到U + Y = U + W = {(x, y, 0)}。Y子空间相当于W顺、逆旋转了45°。[2014.6.10-12:53]

5. 总结

“线性代数”依旧是在描述自然存在的客观规律。在线性代数中的“概念”及“运算法则”都是为了能够描述这些规律才会被那么定义和规定，或者是在已有定义基础之上再定义新的概念和法则。在学习这些定义和法则时，不求去究出到底是哪一自然规律使线性代数如此定义和规定，但还是清楚这些定义是在描述什么，以为将来具体应用时做个可能的铺垫。[2014.6.10-12:56]

Math Note Over.