POJ 2891 Strange Way to Express Integers 中国剩余定理解法

一种不断迭代，求新的求余方程的方法运用中国剩余定理。

总的来说，如果对方程操作，和这个定理的数学思想运用的不多的话，是很困难的。

参照了这个博客的程序写的： http://scturtle.is-programmer.com/posts/19363.html

这个博客举例说的挺好的：http://blog.csdn.net/mishifangxiangdefeng/article/details/7109217

hdu 3579 Hello Kiki 中国剩余定理(不互质的情况)
对互质的情况，处理起来比较方便，可以直接套模板
本题给出不互质的模线性方程组，求出满足方程的最小正整数解
方案：对于不互质的模线性方程组，可以进行方程组合并，求出合并后的方程的解，这样就可以很快地推出方程的最终解。
两个方程合并的一种方法：
x = c1 (mod b1）
x = c2(mod b2) 
此时b1,b2不必互质的。
显然可以得到x = k1 * b1 + c1   x = k2* b2 + c2，
两个方程合并一下就可以得到：k1 * b1 = c2 - c1 (mod b2)，
这样可以设g=gcd(b1,b2),于是就有b1/g*k1-b2/g*k2=(c2-c1)/g，
显然判断(c2-c1)/g是否为整数就能判断是否存在解，
这样在经过类似的变换就能得到k1 = K (mod （b2/g))，
最后得到x = K*b1 + c1 (mod (b1 * b2/g))。
对于题目所给正整数的要求，只有一种反例，就是结果输出为0的情况，

这个可以特殊考虑，只需要考虑所有数的最小公倍数即可。

各个式子各个变量的含义都需要理解才能写好这个程序；最后0MS过，这个程序居然上榜了。

__int64 s, t, g;void extGCD(__int64 a, __int64 b){if (b == 0){s = 1, t = 0, g = a;}else{extGCD(b, a % b);__int64 tmp = s;s = t;t = tmp - a / b * t;}}int main(){__int64 m1, m2, r1, r2, m10, m20, c;int n;while (scanf("%d", &n) != EOF){bool flag = false;scanf("%lld %lld", &m1, &r1);for (int i = 1; i < n; i++){scanf("%lld %lld", &m2, &r2);if (flag) continue;extGCD(m1, m2);//因为定理条件是除数互质，所以除以公约数使得其互质c = r2 - r1;//k1*m1 == (r2 - r1) (mod m2)if (c % g){flag = true;continue;}m20 = m2 / g;//这个为新的mod除数，和下面新的m1互质c /= g;__int64 r0 = (c * s % m20 + m20) % m20;r1 = r0 * m1 + r1;m1 = m1 * m20;//得到新式子的系数： m1 * x + r1 == r2 即：x = r1, r2...(mod m1, m2)}if (flag) puts("-1");else printf("%lld\n", r1);}return 0;}