算法->编程之美2.2 N!末尾有多少个0

N的阶乘末尾有多少个0

思考：0来自何方？

10*10*10*。。。乘以10就会产生0。

那么N!可以写成下面这种形式：

且K不能被10整除，那么N!的末尾就有M个0。

那么M是多少呢=>将N!进行质因数分解

需要M个2和M个5来组成M个10，N!一共有X个2，Z个5，所以M=min(X,Z);

偶数都能被2整除，都能贡献出质数2来，能被5整除的就相对就少很多。所以M=min(X,Z)=Z

=======现在问题就转化成，求N!含有质因数5的个数即Z=======

方法1：遍历1~N，sum(每个数贡献出来的5个个数)

以25!为例，25!=1*2*3*……*25，如下图所示，5,10,15,20，都贡献了5：5=5*1贡献了1个，10=5*2也贡献了一个质因数5也贡献了一个质因数2，25=5*5，贡献了2个质因数5

ret = 0;for(int i=1;i<=N;++i){j = i;while(j % 5 == 0){//若j有质因数5++ret;//质因数个数加1j /= 5;//整除5，再循环看看还有没有质因数5了}//若j==25，那么第一次j%5判断有质因数5，则ret+1;j=25/5;//再循环判断是否还有质因数5，还有，则ret+1,j=5/5;//再循环判断是否还有质因数5，j为1，所以已经没有质因数了，while循环结束}

方法2：利用公式

以25!为例解释公式：

如图所示，1~25个数中一共贡献了6个5.

（其中5的倍数贡献5个5,25的倍数再贡献1个5）

:1~25这25个数中有多少个5的倍数？他们至少每个贡献一个5。5、10、15、20、25加起来贡献5个5.

:1~25这25个数中有多少个25的倍数，就只有一个25是25的倍数。除去了作为5的倍数贡献出来的1个质因数5，他至少再贡献一个5。所以25再贡献一个质因数5.

代码：

ret=0while(N){N/=5;ret+=N;}