MIT:算法导论——7.2.二叉树
来源:互联网 发布:五五开黑历史知乎 编辑:程序博客网 时间:2024/06/04 22:42
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摘要
书中第10章10.4小节介绍了有根树,简单介绍了二叉树和分支数目无限制的有根树的存储结构,而没有关于二叉树的遍历过程。为此对二叉树做个简单的总结,介绍一下二叉树基本概念、性质、二叉树的存储结构和遍历过程,主要包括先根遍历、中根遍历、后根遍历和层次遍历。
1、二叉树的定义
二叉树(Binary Tree)是一种特殊的树型结构,每个节点至多有两棵子树,且二叉树的子树有左右之分,次序不能颠倒。
由定义可知,二叉树中不存在度(结点拥有的子树数目)大于2的节点。二叉树形状如下下图所示:
2、二叉树的性质
(1)在二叉树中的第i层上至多有2^(i-1)个结点(i>=1)。备注:^表示此方
(2)深度为k的二叉树至多有2^k-1个节点(k>=1)。
(3)对任何一棵二叉树T,如果其终端结点数目为n0,度为2的节点数目为n2,则n0=n2+1。
满二叉树:深度为k且具有2^k-1个结点的二叉树。即满二叉树中的每一层上的结点数都是最大的结点数。
完全二叉树:深度为k具有n个结点的二叉树,当且仅当每一个结点与深度为k的满二叉树中的编号从1至n的结点一一对应。
可以得到一般结论:满二叉树和完全二叉树是两种特殊形态的二叉树,满二叉树肯定是完全二叉树,但完全二叉树不不一定是满二叉树。
举例如下图是所示:
(4)具有n个节点的完全二叉树的深度为log2n + 1。
3、二叉树的存储结构
可以采用顺序存储数组和链式存储二叉链表两种方法来存储二叉树。经常使用的二叉链表方法,因为其非常灵活,方便二叉树的操作。二叉树的二叉链表存储结构如下所示:
1 typedef struct binary_tree_node2 {3 int elem;4 struct binary_tree_node *left;5 struct binary_tree_node *right;6 }binary_tree_node,*binary_tree;
举例说明二叉链表存储过程,如下图所示:
从图中可以看出:在还有n个结点的二叉链表中有n+1个空链域。
4、遍历二叉树
遍历二叉树是按照指定的路径方式访问书中每个结点一次,且仅访问一次。由二叉树的定义,我们知道二叉数是由根结点、左子树和右子树三部分构成的。通常遍历二叉树是从左向右进行,因此可以得到如下最基本的三种遍历方法:
(1)先根遍历(先序遍历):如果二叉树为空,进行空操作;否则,先访问根节点,然后先根遍历左子树,最后先根遍历右子树。采用递归形式实现代码如下:
1 void preorder_traverse_recursive(binary_tree root)2 {3 if(NULL != root)4 {5 printf("%d\t",root->elem);6 preorder_traverse_recursive(root->left);7 preorder_traverse_recursive(root->right);8 }9 }
具体过程如下图所示:
(2)中根遍历(中序遍历):如果二叉树为空,进行空操作;否则,先中根遍历左子树,然后访问根结点,最后中根遍历右子树。递归过程实现代码如下:
1 void inorder_traverse_recursive(binary_tree root)2 {3 if(NULL != root)4 {5 inorder_traverse_recursive(root->left);6 printf("%d\t",root->elem);7 inorder_traverse_recursive(root->right);8 }9 }
具体过程如下图所示:
(3)后根遍历(后序遍历):如果二叉树为空,进行空操作;否则,先后根遍历左子树,然后后根遍历右子树,最后访问根结点。递归实现代码如下:
1 void postorder_traverse_recursive(binary_tree root)2 {3 if(NULL != root)4 {5 postorder_traverse_recursive(root->left);6 postorder_traverse_recursive(root->right);7 printf("%d\t",root->elem);8 }9 }
具体过程如下图所示:
写一个完整的程序练习二叉树的三种遍历,采用递归形式创建二叉树,然后以递归的形式遍历二叉树,后面会接着讨论如何使用非递归形式实现这三种遍历,程序采用C语言实现,完整程序如下:
#include <iostream>#include <stack>#include <queue>#include <cstdlib>using namespace std;typedef struct binary_tree_node{ int elem; struct binary_tree_node *left; struct binary_tree_node *right;}binary_tree_node,*binary_tree;void init_binary_tree(binary_tree *root);void create_binary_tree(binary_tree *root);void preorder_traverse(binary_tree root);void inorder_traverse(binary_tree root);void inorder_traverse_two(binary_tree root);void postorder_traverse(binary_tree root);void levelorder_traverse(binary_tree root);int main(){ binary_tree root; create_binary_tree(&root); cout<<"preodrer traverse: "; preorder_traverse(root); cout<<"\ninodrer traverse: "; inorder_traverse_two(root); cout<<"\npostodrer traverse: "; postorder_traverse(root); cout<<"\nleverorder traverse: "; levelorder_traverse(root); exit(0);}void init_binary_tree(binary_tree *root){ *root = NULL;}void create_binary_tree(binary_tree* root){ int elem; cout<<"Enter the node value(0 is end): "; cin>>elem; if(elem == 0) *root = NULL; else { *root = (binary_tree)malloc(sizeof(binary_tree_node)); if(NULL == root) { cout<<"malloc error.\n"; exit(-1); } (*root)->elem = elem; cout<<"Creating the left child node.\n"; create_binary_tree(&((*root)->left)); cout<<"Createing the right child node.\n"; create_binary_tree(&((*root)->right)); }}void preorder_traverse(binary_tree root){ if(NULL != root) { stack<binary_tree_node*> s; binary_tree_node *ptmpnode; s.push(root); while(!s.empty()) { ptmpnode = s.top(); cout<<ptmpnode->elem<<" "; s.pop(); if(NULL != ptmpnode->right) s.push(ptmpnode->right); if(NULL != ptmpnode->left) s.push(ptmpnode->left); } }}void inorder_traverse(binary_tree root){ if(NULL != root) { stack<binary_tree_node*> s; binary_tree_node *ptmpnode; s.push(root); while(!s.empty()) { ptmpnode = s.top(); while(NULL != ptmpnode) { s.push(ptmpnode->left); ptmpnode = s.top(); } s.pop(); if(!s.empty()) { ptmpnode = s.top(); cout<<ptmpnode->elem<<" "; s.pop(); s.push(ptmpnode->right); } } }}void inorder_traverse_two(binary_tree root){ if(NULL != root) { stack<binary_tree_node*> s; binary_tree_node *ptmpnode; ptmpnode = root; while(NULL != ptmpnode || !s.empty()) { //将左子树结点入栈 if(NULL != ptmpnode) { s.push(ptmpnode); ptmpnode = ptmpnode->left; } else { //出栈遍历 ptmpnode = s.top(); s.pop(); cout<<ptmpnode->elem<<" "; //右子树结点 ptmpnode = ptmpnode->right; } } }}void postorder_traverse(binary_tree root){ if(NULL != root) { stack<binary_tree_node*> s; binary_tree_node *ptmpnode; int flags[100]; ptmpnode = root; while(NULL != ptmpnode || !s.empty()) { //将结点左子树结点入栈 while(NULL != ptmpnode) { s.push(ptmpnode); flags[s.size()] = 0; //标记未访问 ptmpnode=ptmpnode->left; } //输出访问的结点 while(!s.empty() && flags[s.size()] == 1) { ptmpnode = s.top(); s.pop(); cout<<ptmpnode->elem<<" "; } //从右子树开始遍历 if(!s.empty()) { ptmpnode = s.top(); flags[s.size()] = 1; //登记访问了 ptmpnode = ptmpnode->right; } else break; } }}void levelorder_traverse(binary_tree root){ if(NULL != root) { queue<binary_tree_node*> q; binary_tree_node *ptmpnode; q.push(root); while(!q.empty()) { ptmpnode = q.front(); q.pop(); cout<<ptmpnode->elem<<" "; if(NULL != ptmpnode->left) q.push(ptmpnode->left); if(NULL != ptmpnode->right) q.push(ptmpnode->right); } }}
程序测试结果如下:
现在来讨论一下如何采用非递归实现这以上三种遍历。将递归形式转换为非递归形式,引入了额外的辅助结构栈。另外在讨论一次二叉树的层次遍历,可以借助队列进行实现。具体讨论如下:
(1)先根遍历非递归实现
先根遍历要求顺序是根左右,可以借助栈s来实现。先将根root入栈,然后循环判断s是否为空,非空则将结点出栈,记为节点p,然后依次先将结点p的右子树结点入栈,然后将结点p的左子树结点入栈,循环操作直到栈中所有元素都出栈为止,出栈顺序即是先根遍历的结果。采用C++中模板库stack实现先根遍历如下:
1 void preorder_traverse(binary_tree root) 2 { 3 if(NULL != root) 4 { 5 stack<binary_tree_node*> s; 6 binary_tree_node *ptmpnode; 7 s.push(root); 8 while(!s.empty()) 9 {10 ptmpnode = s.top();11 cout<<ptmpnode->elem<<" ";12 s.pop();13 if(NULL != ptmpnode->right)14 s.push(ptmpnode->right);15 if(NULL != ptmpnode->left)16 s.push(ptmpnode->left);17 18 }19 }20 }
(2)中根遍历非递归实现
中根遍历要求顺序是左根右,借助栈s实现。先将根root入栈,接着从根root开始查找最左的子孩子结点直到为空为止,然后将空节点出栈,再将左子树节点出栈遍历,然后判断该左子树的右子树节点入栈。循环此过程,直到栈为空为止。此时需要注意的是入栈过程中空结点也入栈了,用以判断左孩子是否结束和左孩子是否有右孩子结点。采用C++中模板库stack实现先根遍历如下:
1 void inorder_traverse(binary_tree root) 2 { 3 if(NULL != root) 4 { 5 stack<binary_tree_node*> s; 6 binary_tree_node *ptmpnode; 7 s.push(root); 8 while(!s.empty()) 9 {10 ptmpnode = s.top();11 while(NULL != ptmpnode)12 {13 s.push(ptmpnode->left);14 ptmpnode = s.top();15 }16 s.pop();//空结点出栈17 if(!s.empty())18 {19 ptmpnode = s.top();20 cout<<ptmpnode->elem<<" ";21 s.pop();22 //右子树结点如栈23 s.push(ptmpnode->right);24 }25 }26 }27 }
另外一种简洁的实现方法如下:
1 void inorder_traverse_two(binary_tree root) 2 { 3 if(NULL != root) 4 { 5 stack<binary_tree_node*> s; 6 binary_tree_node *ptmpnode; 7 ptmpnode = root; 8 while(NULL != ptmpnode || !s.empty()) 9 {10 //将左子树结点入栈11 if(NULL != ptmpnode)12 {13 s.push(ptmpnode);14 ptmpnode = ptmpnode->left;15 }16 else17 {18 //出栈遍历19 ptmpnode = s.top();20 s.pop();21 cout<<ptmpnode->elem<<" ";22 //右子树结点23 ptmpnode = ptmpnode->right;24 }25 }26 }27 }
(3)后根遍历递归实现
后根遍历要求访问顺序是左右根,采用辅助栈实现时,需要一个标记,判断结点是否访问了,因为右子树是通过跟结点的信息得到的。实现过程是先将根结点及其左子树入栈,并初始标记为0,表示没有访问,然后通过判断栈是否为空和标记的值是否为1来判断是否访问元素。
参考:http://www.cnblogs.com/hicjiajia/archive/2010/08/27/1810055.html
采用C++模板库stack具体实现程序如下:
1 void postorder_traverse(binary_tree root) 2 { 3 if(NULL != root) 4 { 5 stack<binary_tree_node*> s; 6 binary_tree_node *ptmpnode; 7 int flags[100]; 8 ptmpnode = root; 9 while(NULL != ptmpnode || !s.empty())10 {11 //将结点左子树结点入栈12 while(NULL != ptmpnode)13 {14 s.push(ptmpnode);15 flags[s.size()] = 0; //标记未访问16 ptmpnode=ptmpnode->left;17 }18 //输出访问的结点19 while(!s.empty() && flags[s.size()] == 1)20 {21 ptmpnode = s.top();22 s.pop();23 cout<<ptmpnode->elem<<" ";24 }25 //从右子树开始遍历26 if(!s.empty())27 {28 ptmpnode = s.top();29 flags[s.size()] = 1; //登记访问了30 ptmpnode = ptmpnode->right;31 }32 else33 break;34 }35 }36 }
(4)层次遍历实现
层次遍历要求从根向下、从左向右进行访问,可以采用队列实现。先将根入队,然后队列进程出队操作访问结点p,再将结点p的左子树和右子树结点入队,循环执行此过程直到队列为空。出队顺序即是层次遍历结果。采用C++的模板库queue实现如下:
1 void levelorder_traverse(binary_tree root) 2 { 3 if(NULL != root) 4 { 5 queue<binary_tree_node*> q; 6 binary_tree_node *ptmpnode; 7 q.push(root); 8 while(!q.empty()) 9 {10 ptmpnode = q.front();11 q.pop();12 cout<<ptmpnode->elem<<" ";13 if(NULL != ptmpnode->left)14 q.push(ptmpnode->left);15 if(NULL != ptmpnode->right)16 q.push(ptmpnode->right);17 }18 }19 }
综合上面的分析过程写个完整的程序测试二叉树遍历的非递归实现,采用C++语言,借助stack和queue实现,完整程序如下所示:
程序测试结果如下:
- MIT:算法导论——7.2.二叉树
- MIT:算法导论——9.二叉搜索树
- MIT算法导论-第9讲-二叉查找树
- MIT:算法导论——10.平衡搜索树-红黑树
- 算法导论——二叉查找树
- 算法导论——二叉查找树
- 算法导论—二叉搜索树(BST)
- MIT算法导论第三节笔记——分治思想
- MIT算法导论第四节笔记——快速排序
- MIT算法导论——第一讲.Analysis of algorithm
- MIT算法导论——第二讲.Solving Recurrence
- MIT算法导论——第四讲.Quicksort
- MIT算法导论——第五讲.Linear Time Sort
- MIT算法导论5——线性时间排序
- MIT:算法导论——8.散列表
- MIT:算法导论——15.动态规划
- MIT算法导论——第一讲.Analysis of algorithm
- MIT算法导论——第二讲.Solving Recurrence
- 【暮色天】成功,需要耐心(6.12)
- 时间
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