图算法总结1（图的遍历及应用、并查集）[代码没有写]

图的表示

图常见有两种表示方法：邻接表和邻接矩阵。

图的遍历

深度优先搜索（DFS）O(V+E)

广度优先搜索（BFS）O(V+E)

深度优先搜索的应用

1：找出图中的所有连通分量？

答：1）无向图（连通分量）：在上述DFS伪代码中，在函数DFS(G) line:7退出时，下一个vertex将从另一个联通分量开始，

所以，我们可以加个数组id[V]， 表明每个vertex所属的连通分量即可。

2）有向图（强连通分量）：可以运行两遍DFS来求得强连通分量。

概念：the transpose of G(见下图)

伪代码见下图，解释如下：

Line 1：对图G运行DGF，求得finish times；

Line 2：求图G的转置；

Line 3：以finish times的降序对G的转置图的vertex进行DFS。

2：判断图是否有环（一般指有向图）？

答：此题有两种方法：

1）拓扑排序，如果有拓扑排序，则说明此图没有环，否则有环。

2）DFS（它可以用来拓扑排序），题目等价于找反向边。在DFS_VIsit(G,u) line:5，如果vertex的颜色为GRAY时（BLACK不算），就说明存在环。

3：判断无向图是否是二部图？

答：加入color[V]数组，并在遍历的时候给vertex着色（两种颜色），如果成功，则是二部图。

4：JVM的垃圾回收机制

答：如右图所示，垃圾是指没有用的资源，由JVM负责回收，那么可以对每个资源进行标记，标记完后看哪个资源没有没有被标记并回收。

还有一种方法是ref计数，当引用时ref+=1，当不需要时ref-=1，如果ref==0，则释放这个资源，但这种方法要防止出现死锁状态。

5：模式匹配(KMP等等。。。)

答：这个暂时还没看，后面补上。。。抱歉！

6：有向图的拓扑排序

答：当DFS遍历到某条路径的最后一个顶点，因此DFS回退序列就是拓扑排序的逆序列， DFS_Visit()

补充：拓扑排序的另一种方法就是寻找入度为0的node，并删除这个node，再更新每个node的入度，迭代。

如果在某次迭代过程中，找不到入度为0的node，则说明存在环。

广度优先搜索的应用

1：走迷宫（POJ3984）

2：连连看游戏（编程之美p88）

3：倒酒问题：一个8L杯子装满了酒，有一个3L的空杯子和5L的空杯子，问怎样才能用最少的次数倒出4L的酒？

答：将三个酒杯中酒的数量当做状态，初始状态为（8,0,0），每个酒杯的容量限制为（8,3,5），则对当前三个酒杯的状态转移（这是关键）进行穷举（BFS），

直到某个酒杯的酒的数量为4为止（见下图）。

4：过桥问题：四个人夜间过桥，只有一根火把，每次最多过两个，过桥必须带火把，

他们的过桥速度分别是1min，2min，5min，10min，如何在最快的时间内让四个人过桥？

答：此题和上题思路差不多，都是状态转移。代码详见（http://blog.csdn.net/zhouweiabc/article/details/29604951）

并查集：Disjoint sets

这部分参考：http://www.cnblogs.com/cyjb/p/UnionFindSets.html。

它主要应用于不相交集合的合并问题。一些常见的用途有求连通子图、求最小生成树的 Kruskal 算法及Prim算法和求最近公共祖先

（Least Common Ancestors, LCA）等。

对集合{s1,s2,s3,,,,sk},确定一个集合的代表（可以是此集合中的任意一个元素），对并查集的基本操作有三个：

1. Make-Set(n)：建立一个新的并查集，其中包含 n 个单元素集合。执行n次。
2. Union(x, y)：把元素 x 和元素 y 所在的集合合并，要求 x 和 y 所在的集合不相交，如果相交则不合并。至多执行n-1次。
3. Find-Set(x)：找到元素 x 所在的集合的代表，该操作也可以用于判断两个元素是否位于同一个集合，只要将它们各自的代表比较一下就可以了。

Disjoint sets的常见操作

1）基于链表的集合表示方法

如上图（a）所示，这个表示方法，每个元素指向头节点（此节点为这个集合的代表），head指向首节点，tail指向尾节点，则Make-Set(s)时间复杂度为O(s)，Find-Set(x)时间复杂度为O(1)。

而Union(x, y)(见上图(b))如果按照上图这种方法来union的话，总时间为O(n^2)，union共被调用2n-1次，所以平均为O(n)。

这里有个启发式（weighted-union heuristic）的方法，每次union的时候，将小集合合并到大集合,则时间复杂度会变小。

2）基于森林的表示方法（Disjoint-set forests）

如图所示，这种方法Union(x, y)时间复杂度为O(1)，而Find-Set(x)时间复杂度就变高了。但是我们可以用“union by rank”和"path compression"这两种启发式方法是森林尽可能对称，从而Find-Set(x)时间复杂度保持很低。

所谓“union by rank”，和上面的“weighted-union heuristic”类似，每个vertex保持一个rank（这个node的最大高度），当union时，将rank小的node合并到rank大的node上。

所谓"path compression"，见上图，当我们Find-Set(a)时，当从a遍历到f的过程中，改变每个node的parent，从而减少每个node的rank。

伪代码见下图