算法

Floyd算法和Dijkstar算法是用来获得图中两点最短路径的算法。Dijkstar算法最终能够得到一个节点到其他所有节点的最短路径，而Floyd算法最终能够找出每对点之间的最短距离。

Dijkstar算法

算法简介

　　Dijkstra(迪杰斯特拉)算法是典型的单源最短路径算法，用于计算一个节点到其他所有节点的最短路径。主要特点是以起始点为中心向外层层扩展，直到扩展到终点为止。Dijkstra算法是很有代表性的最短路径算法，在很多专业课程中都作为基本内容有详细的介绍，如数据结构，图论，运筹学等等。Dijkstra一般的表述通常有两种方式，一种用永久和临时标号方式，一种是用OPEN, CLOSE表的方式，这里均采用永久和临时标号的方式。注意该算法要求图中不存在负权回路。

算法描述　　(这里描述的是从节点1开始到各点的dijkstra算法，其中Wa->b表示a->b的边的权值，d(i)即为最短路径值)

　　1． 置集合S={2,3,...n}, 数组d(1)=0, d(i)=W1->i(1,i之间存在边) or +无穷大(1.i之间不存在边)

　　2． 在S中，令d(j)=min{d(i),i属于S}，令S=S-{j}，若S为空集则算法结束，否则转3

　　3． 对全部i属于S,如果存在边j->i，那么置d(i)=min{d(i), d(j)+Wj->i}，转2

复杂度分析

　　Dijkstra 算法的时间复杂度为O(n^2) 

　　空间复杂度取决于存储方式，邻接矩阵为O(n^2)

 

问题描述：给定图G，求其顶点t到其他所有点的最短路径。

算法描述：将图所有点的集合S分为两部分，V和S-V。V集合是已经得到最短路径的点的集合，在初始情况下V中只有一个顶点t，S-V是还未得到最短路径点的集合。然后，在每一次迭代过程中取得S-V集中到V集合任一点距离最短的点，将其加到V集合，从V-S集合删除。重复此过程直到S-V集合为空。

时间复杂度：

示例：

 

伪代码：

算法实现

输入输出格式　

       输入格式:

　　第1行:一个数n，代表有n个节点

　　第2-n+1行:每行n个数，代表图的邻接矩阵，没有边相连为-1

　　输出格式:

　　第1行:n-1个数，分别是1号节点到2-n号节点的最短路径

Java代码：

 

 Floyd算法

问题描述：给定图G，得到每个点对的最短距离。

算法描述：Floyd算法是一个动态规划算法，最初矩阵A0是图的邻接矩阵，AK矩阵表示从i到j的最短路径，这些路径不能能通过大于K的节点，最终的矩阵AN就是想要得到的矩阵了。那么AK矩阵与A(K+1)矩阵有什么关系呢？关系就是A(K+1)[i,j]=min(A(K)[i,j],A(K)[i,k]+A(K)[k,j]),也就是看加上K点后，是不是能找到更短的距离。

时间复杂度：O(|V|^3) 顶点数的三次方。

示例：一上面的图为例子，下面展示了矩阵系列的建立过程：

Perl代码