第十八题（约瑟夫环问题）

来源：互联网发布：button按钮跳转js函数编辑：程序博客网时间：2024/05/21 22:23

第18 题：
题目：n 个数字（0,1,…,n-1）形成一个圆圈，从数字0 开始，
每次从这个圆圈中删除第m 个数字（第一个为当前数字本身，第二个为当前数字的下一个数
字）。
当一个数字删除后，从被删除数字的下一个继续删除第m 个数字。

求出在这个圆圈中剩下的最后一个数字。

这道题网上讲解的很多，主要有两种方法：

第一种，采用循环链表实现，建立一个有n个节点的循环链表，然后从链表头开始遍历链表并计数，计数值到m-1时将节点删除，直到链表中只有一个节点（判定条件，p->next==p)。这种方法的时间复杂度为o(mn)。

第二种方法比较巧妙，时间复杂度可以达到O(n)，但是只能求的最后一个数字的值，不能像第一种方法那样获得每个数字的删除顺序。

第二种方法的推导可以参考这个链接：

http://blog.csdn.net/wuzhekai1985/article/details/6628491

讲的比较详细，主要是要得出n个数字的约瑟夫环和n-1个数字的约瑟夫环胜利者的关系。

s(n)=(s(n-1)+k)%n，其中k=m%n;

s(1)=0;

有了这个递推关系，可以很容易的写出程序：

#include<iostream>using namespace std;namespace MS100P_18{//采用链表实现，复杂度O(mn)struct ListNode{int data;ListNode* next;};void JosephusProblem_List(int n,int m){//使用循环链表实现ListNode* head;head = (ListNode*)malloc(sizeof(ListNode));if (head == NULL){printf("malloc error!\n");return;}ListNode* pNew, *pCurrent;pCurrent = head;//构造循环链表for (int i = 0; i < n; i++){pNew = (ListNode*)malloc(sizeof(ListNode));if (pNew == NULL){printf("malloc error!\n");return;}pNew->data = i;pCurrent->next = pNew;pCurrent = pNew;}pCurrent->next = head->next;ListNode* pPre = head;pCurrent = head->next;//依次从链表中移除while (pCurrent->next != pCurrent){for (int j = 0; j < m - 1; j++)//删除第m个数字，m为1时删除当前节点{pPre = pPre->next;pCurrent = pCurrent->next;}pPre->next = pCurrent->next;cout << pCurrent->data << " ";free(pCurrent);pCurrent = pPre->next;}cout<<endl << "链表 the last one is:" << pCurrent->data << endl;}void JosephusProblem(int n, int m){int s=0;for (int i = 2; i <= n; i++){s = (s + m) % i;}cout << "递推 the last one is:" << s << endl;}void test(){JosephusProblem_List(10, 3);JosephusProblem(10, 3);}}

第二种方法递推公式推导的理解大体上是这样子的：

知道了n-1个数字时约瑟夫环的胜利者s(n-1)，其实就知道了当数字个数为n-1时约瑟夫环的胜利者相对起始数字的偏移

n个数字的约瑟夫环在进行了一次删除操作后，变成了一个n-1约瑟夫环问题，起始位置为k，胜利者相对于起始位置偏移量为s(n-1)，不难求得s(n)=(s(n-1)+k)%n

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