极大似然估计

极大似然估计，顾名思义是一种估计方法。既然是一种估计方法，我们至少必须搞清楚几个问题：估计什么？需要什么前提或假设？如何估计？估计的准确度如何？

直观概念，最大似然估计：

给定：模型（参数全部或者部分未知）和数据集（样本）

估计：模型的未知参数。

基本思想：

这一方法是基于这样的思想：我们所估计的模型参数，要使得产生这个给定样本的可能性最大。在最大释然估计中，我们试图在给定模型的情况下，找到最佳的参数，使得这组样本出现的可能性最大。举个极端的反面例子，如果我们得到一个中国人口的样本，男女比例为3:2，现在让你估计全国人口的真实比例，你肯定不会估计为男：女=1:0。因为如果是1:0，不可能得到3:2的样本。我们大多很容易也估计为3:2，为什么？样本估计总体？其背后的思想其实最是最大似然。

在机器学习的异常检测中，根据模型（通过学习得来的）计算一个数据点出现的概率，如果这个概率小于某个我们事先设定的值，就把它判为异常。我们基于的是一个小事件的思想：如果一件可能性极小的事情竟然发生了，那么就极有可能是异常。举个例子，我这辈子跟奥巴马成为哥们的可能性几乎为零，如果哪一天我跟奥巴马在烧烤摊喝3块钱一瓶的啤酒，那么绝对叫异常。

例子1：估计高斯分布的均值和方差

假设我们有一组来自高斯分布（均值和方差未知）的独立样本x[1]、x[2]、...、x[N],即

        X[n] ~ N(u,t^2), n=1,2,...,N  (注，本文中方差均匀t^2代替)

简单起见，我们假设这些观测值都是相同独立的，也就是这些观测值独立同分布（iid）。现在让你从这些样本中估计均值u和方差，如何下手？最大似然估计来帮你解决。

1）既然是idd，那么联合概率密度f(x[1],...,x[N]; u,t^2)=f(x[1] ; u,t^2)*...*f(x[N]; u,t^2)，带入高斯分布得到：

                    

我们把这个式子叫做似然函数，用来衡量从模型中产生这个样本组的可能性大小，我们记为L（x[1],...,x[n]; u,t^2）.除以样本容量平均一下，就叫平均对数似然。这个函数有变量x[1],...x[N],还有u，t^2.现在我们换个角度看，把x[1]到x[N]看成是固定的，而u和t^2可能自由变化。根据基本思想，我们下一步就是要找到使得这个似然函数达到最大值的u和t^2的取值。

2）给定样本值之后，我们要求出上面式子最大值，由于ln函数是单调递增函数，我们将L取对数，得到

         L = 

首先求L达到最大时u的值，取u的导数，令导数为0，得到u的估计值

               

接着把方差t^2看成一个变量，求导，令其等于零得到方差估计值

              

求解完毕。至于跟真实值差多少，计算比较复杂。有个定律是，如果有足够多的样本，那么我们可以使估计值达到任意的精度。极端情况下，样本就是总体，估计值就等于真实值。

例子2：人口比例

地球人都知道，概率模型中，取值可以使连续的（例子1就是），也可以是离散的。我们来看看离散的情况，人口比例。

假设现在有一个中国人口的样本组，样本容量为1000，服从独立同分布，男女比例为3:2.如何通过合理推到估计全国的人口比例（也就是证明样本估计总体的可行性）。一样用最大释然估计，我们现在的模型是个离散模型，我们假设其参数p为男性人口比例。现在要估计的就是这个p的值.

同上面一样，可以得到似然函数L=(p^600)*((1-p)^400),要求p，使得该函数最大，很简单，求导赋零，可以得到p=0.6.

值得说明的是，有些情况下可能存在多个模型参数，同时满足最大似然。另外有可能这个最佳的值是不存在的。最佳的模型参数拟合样本的函数是最好的。

最大似然估计也是统计学习中经验风险最小化（RRM）的例子。如果模型为条件概率分布，损失函数定义为对数损失函数，经验风险最小化就等价于最大似然估计。

小结一下，最大似然估计是在给定模型（含有未知参数）和样本集的情况下，用来估计模型参数的方法。其基本思想是找到最佳的模型参数，使得模型实现对样本的最大程度拟合，也就使样本集出现的可能性最大。