ARMA
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ARMA模型概述
ARMA 模型(Auto-Regressive and Moving Average Model)是研究时间序列的重要方法,由自回归模型(简称AR模型)与滑动平均模型(简称MA模型)为基础“混合”构成。在市场研究中常用于长期追踪资料的研究,如:Panel研究中,用于消费行为模式变迁研究;在零售研究中,用于具有季节变动特征的销售量、市场规模的预测等。
ARMA模型三种基本形式[1]
1.自回归模型(AR:Auto-regressive);
自回归模型AR(p):如果时间序列yt满足
其中εt是独立同分布的随机变量序列,且满足:
E(εt) = 0
则称时间序列为yt服从p阶的自回归模型。或者记为φ(B)yt = εt。
自回归模型的平稳条件:
滞后算子多项式的根均在单位圆外,即φ(B) = 0的根大于1。
2.移动平均模型(MA:Moving-Average)
移动平均模型MA(q):如果时间序列yt满足
则称时间序列为yt服从q阶移动平均模型;
移动平均模型平稳条件:任何条件下都平稳。
3.混合模型(ARMA:Auto-regressive Moving-Average)
ARMA(p,q)模型:如果时间序列yt满足:
则称时间序列为yt服从(p,q)阶自回归滑动平均混合模型。或者记为φ(B)yt = θ(B)εt
特殊情况:q=0,模型即为AR(p),p=0,模型即为MA(q),
ARMA模型的基本原理
将预测指标随时间推移而形成的数据序列看作是一个随机序列,这组随机变量所具有的依存关系体现着原始数据在时间上的延续性。一方面,影响因素的影响,另一方面,又有自身变动规律,假定影响因素为x1,x2,…,xk,由回归分析,
其中Y是预测对象的观测值, e为误差。作为预测对象Yt受到自身变化的影响,其规律可由下式体现,
误差项在不同时期具有依存关系,由下式表示,
由此,获得ARMA模型表达式:
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