2014百度之星复赛解题报告：Query on the tree

Query on the tree

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问题描述

度度熊最近沉迷在和树有关的游戏了，他一直认为树是最神奇的数据结构。一天他遇到这样一个问题：

有一棵树，树的每个点有点权，每次有三种操作：

1. Query x 表示查询以x为根的子树的权值和。

2. Change x y 表示把x点的权值改为y。

3. Root x 表示把x变为根。

现在度度熊想请更聪明的你帮助解决这个问题。

输入

第一行为数据组数T                              

每组数据第一行为N ，表示树的节点数。

后面 行每行有两个数 ，表示 之间有一条边 。初始时树是以1号节点为根节点。

之后的一行为 个数表示这 个点的点权。

然后为整数Q为操作次数。

之后的Q行为描述中的三种操作。

输出

对于第k组输入数据，第一行输出Case #k接下来对于每个”Queryx”操作，输出以x为根的子数和。

样例输入

2

5

1 2

1 3

3 4

3 5

1 2 3 4 5

5

Query 1

Change 3 10

Query 1

Root 4

Query 3

8

1 2

1 3

3 4

4 5

5 6

5 7

4 8

1 2 3 4 5 6 7 8

5

Query 1

Query 3

Root 5

Query 3

Query 1
样例输出

Case #1:

15

22

18

Case #2:

36

33

6

3

解题报告：

树上的查询一共有三种操作，如果只是考虑前两种操作Query和Change，则需要一种高效的数据结构来支持子树和的查询和更新。

         采取类似于LCA在线算法的方式，先DFS得到树上顶点序列，通过顶点序列可以知道每颗子树的范围。利用树状数组的方式来记录每个顶点的权值的变更。那么Query和Change的时间复杂度都为O(lgn)

         当引入第三种操作-变更根节点后，并不需要调整树的结构，而只是要在查询操作的时候做些处理。

         如果Query x的x为当前root节点，则直接输出当前所有节点的权值和，可以用一个变量SumOfAllTree来记录整颗树所有节点的权值和，查询为O(1)的复杂度

         如果x在原树上不为当前root节点的祖先，即lca(x,root) != x，那么直接输出x节点所在的子树和SubTree(x)。

         否则可找出root到x这条路径上x的儿子节点y，那么在当前root的条件下x对应的子树的和为SumOfAllTree-SubTree(y)。

         求lca和求y的时间复杂度都可以做到O(lgn)。因此加上预处理后整体的时间复杂度为O(nlgn + Qlgn)

解题代码：

#include "iostream"#include "cstring"#include "cstdio"#include "vector"#define F first#define S second#define PB push_back#define MP make_pairusing namespace std;const int N  = 10010;const int D = 20;vector<int>e[N];int go[N][D],depth[N],l[N],r[N];int time_stamp;void dfs(int u,int p){        depth[u]=p==-1?0:depth[p]+1;        go[u][0]=p;        l[u]=++time_stamp;        for(int i=0;go[u][i]!=-1;i++){                go[u][i+1]=go[go[u][i]][i];        }        for(int i=0;i<e[u].size();i++){                int v=e[u][i];                if(v!=p){                        dfs(v,u);                }        }        r[u]=time_stamp;}int jump(int u,int d){        for(int i=D-1;i>=0;i--){                if(d>=(1<<i)){                        u=go[u][i];                        d-=1<<i;                }        }        return u;}int lca(int u,int v){        if(depth[u]<depth[v]){                swap(u,v);        }        u=jump(u,depth[u]-depth[v]);        for(int i=D-1;i>=0;i--){                if(go[u][i]!=go[v][i]){                        u=go[u][i];                        v=go[v][i];                }        }        return u==v?u:go[u][0];}int lowbit(int x){        return x&(-x);}char com[20];int n;int val[N],sumroot[N],sumroad[N];void init(int n){        time_stamp=0;        memset(sumroot,0,sizeof(sumroot));        memset(sumroad,0,sizeof(sumroad));        memset(go, -1, sizeof(go));    for(int i=1;i<=n;i++){                e[i].clear();        }}void update(int a[],int x,int v){        while(x<=n){                a[x]+=v;                x+=lowbit(x);        }}int get(int a[],int x){        int sum=0;        while(x>0){                sum+=a[x];                x-=lowbit(x);        }        return sum;}int getsum(int a[],int l,int r){        return get(a,r)-get(a,l-1);}int main(){    int KK = 1;        int T,Q,x,y,root,allval;        scanf("%d",&T);        while(T--){                scanf("%d",&n);                init(n);                root=1;                allval=0;                for(int i=1;i<n;i++){                        scanf("%d%d",&x,&y);                        e[x].PB(y);                        e[y].PB(x);                }                dfs(1,-1);                for(int i=1;i<=n;i++){                        scanf("%d",&val[i]);                        update(sumroad,l[i],val[i]);                        update(sumroad,r[i]+1,-val[i]);                        update(sumroot,l[i],val[i]);                        allval+=val[i];                }        printf("Case #%d:\n", KK++);                scanf("%d",&Q);                while(Q--){                        scanf("%s",com);                        if(com[0]=='Q'){                                scanf("%d",&x);                                if(x==root){                                        printf("%d\n",allval);                                }else if(lca(x,root)!=x){                                        printf("%d\n",getsum(sumroot,l[x],r[x]));                                }else{                                        int tmp=jump(root,depth[root]-depth[x]-1);                                        printf("%d\n",allval-getsum(sumroot,l[tmp],r[tmp]));                                }                        }else if(com[0]=='C'){                                scanf("%d%d",&x,&y);                                update(sumroad,l[x],y-val[x]);                                update(sumroad,r[x]+1,val[x]-y);                                update(sumroot,l[x],y-val[x]);                                allval+=y-val[x];                                val[x]=y;                        }else{                                scanf("%d",&root);                        }                }        }        return 0;}