01背包问题【动态规划】

来源：互联网发布：刺客信条2mac中文版编辑：程序博客网时间：2024/05/16 05:19

问题：

假设有n个物品，每个物品都是有重量的，同时每个物品也是有价值的，要求把这些物品放到一个背包中，这个背包的载重量是有限制的，怎么使得背包里面的物品总价值最大？

符号表示：

N：物品个数

W：背包载重量

w[i]：物品i的重量（1<i<=N）

v[i]：物品i的价值（1<i<=N）

c[i, j]：到物品i为止，背包重量限制为j的最优解（1<i<=N, 1<j<=W）

分析：

最优解结构：对于物品i，只有两种情况，放入或不放入。假设物品i放入了是最优解的一部分，那么我们这时候拿掉物品i，c[i-1, j-w[i]]也应该是最优解
递归定义最优解的值：
按自底向上的方式计算最优值：双重循环，i从1到N循环，j从1到W循环
由计算出的结果构造一个最优解：自顶向下，i从N到1循环，如果c[i,j]>c[i-1,j]，则物品i放入背包，否则反之。

代码（c++）：

#ifndef ___1package__package__#define ___1package__package__#include <iostream>#include <string>#include <vector>using namespace std;class Package{public:    void init(string dataSource);    void print();private:    void compute();    int m_nN;  // The number of object    int m_nW;  // The max weight of package    vector<int> m_vecWeight;  // The weight of object    vector<int> m_vecValue;   // The value of object    vector<vector<int> > m_vecMatrix;  // The results matrix    };#endif /* defined(___1package__package__) */

////  package.cpp//  01package#include "package.h"#include <fstream>void Package::init(string dataSource){    // read data from datasource    ifstream file;    file.open(dataSource);    if (file.is_open()){        string buffer;        file>>m_nW;        file>>m_nN;        m_vecWeight.clear();        m_vecWeight.push_back(0);        m_vecValue.clear();        m_vecValue.push_back(0);        int w, v;        for (int i=0; i<m_nN; ++i) {            file>>w>>v;            m_vecWeight.push_back(w);            m_vecValue.push_back(v);        }        while(!file.eof()){            file>>buffer;            cout<<buffer<<endl;        }    }    file.close();        m_vecMatrix.clear();    // set first row and first column to zero    for (int i=0; i<=m_nN; ++i) {        m_vecMatrix.push_back(vector<int>(m_nW+1, 0));    }    }void Package::print(){    compute();    cout<<"\n=====The Results======\n"<<"The max value: "<<m_vecMatrix[m_nN][m_nW]<<endl;}void Package::compute(){    for (int i=1; i<=m_nN; ++i) {        for (int j=1; j<=m_nW; ++j) {            int cur_weight = m_vecWeight[i];            if (cur_weight>j) {                m_vecMatrix[i][j] = m_vecMatrix[i-1][j];            } else{                m_vecMatrix[i][j] = max<int>(m_vecMatrix[i-1][j-cur_weight]+m_vecValue[i], m_vecMatrix[i-1][j]);            }        }    }}

输入的测试数据可以参考：http://zhidao.baidu.com/question/77646243.html

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