数据结构——绪论

1.1 学习数据结构的意义和要求

意义：算法和数据结构是计算机科学的两大支柱。

计算机科学早期定义为：研究算法的科学。

计算机科学近期定义为：研究数据的科学。

数据结构是程序设计的基础。

程序 = 算法 + 数据结构。

数据结构是设计OS、DBMS、编译等系统程序和各种应用程序的重要基础。

要求：

1. 掌握各类基本数据结构类型和相应的存储结构。

2. 提高阅读和编写算法的能力。

3. 能针对给定问题，选择相适应的数据结构，并能设计和分析算法。

1.2 数据结构的主要内容

例1：

在计算机中有如下一串数据：

980803 3202670 610054 510102780618748。

整理之后：

980803 班号

3202670 电话号码

610054 邮政编码

510102780618748 其他信息编码

结论一：杂乱的数据不能表达和交流信息。

例2：

电话号码簿(a1 b1) (a2 b2) ...... (an bn)。

其中：ai为某人姓名，bi为该人的电话号码。

要求：设计一个算法，给定一个姓名时，能查出此人的电话号码。

算法一：如果姓名和电话号码的排列次序无规律，则只能逐一比较姓名进行查找。

算法二：如果姓名按字典顺序组织，则查找就快捷多了。

结论二：数据之间是有联系的。

例3：

某大学生管理机构：

学校 —— 系

系 —— 年级

年级 —— 班级

班级 —— 学生

例3中数据之间呈分层结构（树状结构）。

结论三：数据之间是有结构的。

例4：

图书目录管理

设每个书目含：书名、作者、登陆号、分类、出版年月

对图书目录常有如下操作：

查找：某书在书库中是否存在。

插入：购进新书时的录入。

删除：报废和丢失的书，需从目录中去掉。

结论四：在某种数据结构上可定义一组运算。

综上所述：

DS主要研究内容：

1. 数据的各种逻辑结构和物理结构，以及它们之间的相应关系。

2. 并对每种结构定义相适应的各种运算。

3. 设计出相应的算法。

4. 分析算法的效率。

1.3 基本术语

数据：所有能被计算机处理的符号的集合。

数据元素：是数据这个集合中的一个个体。

设给定数据集合为：D = {d1 d2 ... dn}，则di属于D，并称di为数据元素。

数据项：数据元素常常还可分为若干个数据项，数据项是数据具有意义的最小单位。

数据对象：具有相同特性的数据元素的集合。

设数据集合D = {0 1 ... A B ... Z}，则：数据对象正整数N = {0 1 ... }，数据对象字母C = {A B ... Z}。

数据元素是数据的一个个体，数据对象是数据的一个子集。

数据结构：是带有结构的数据元素的集合。

所谓结构就是数据元素之间的关系，即描述数据之间的运算及运算规则。

用集合的形式描述，数据结构就是一个二元组：DS = (D R)。

其中：D是数据元素的集合，R是D上关系的集合。

简言之，数据元素和其相互关系称为数据结构。

逻辑结构：指数据元素之间的结构关系。

物理结构：指数据结构在计算机内的表示。

1.4 算法描述和算法分析

算法概念：算法是一个有限的指令集，遵循指令流可以完成特定的功能。

算法的基本特性：

1. 有穷性：算法经有限步后结束。

2. 确定性：下一步必须是明确的。

3. 可行性：每一步是可执行的。

算法与程序的区别：

算法是解决问题的一种方法或一个过程，考虑如何将输入转换成输出，一个问题可以有多种算法。

程序是用某种程序设计语言对算法的具体实现。

主要区别在：有穷性、正确定和描述方法。

1. 程序可以是无穷的，例如OS，算法是有穷的。

2. 程序可以是错误的，算法必须是正确的。

3. 程序是用程序设计语言描述，在机器上可以执行。

4. 算法还可以用框图、自然语言等方式描述。

算法分析：

如何衡量一个正确算法的好坏？

衡量的三个尺度：

1. 运行所花费的时间（算法的时间特性）。

2. 所占用存储空间的大小（算法的空间特性）。

3. 其他（可读性、易调性、健壮性等）。

语句频度：语句可能重复执行的最大次数。

时间复杂度：设算法中所有语句的语句频度为t(n)，f(n)是当n趋向无穷大时与t(n)为同阶无穷大，则算法的时间复杂度T(n)=O(f(n))。

其中：n为算法计算量或为规模，f(n)是运算时间随n增大时的增长率，O(f(n))是算法时间特性的量度。

例如：

程序段                    语句频度                    时间复杂度

x=x+1                      1                                 O(1) 常数阶

for(i=0;i<n;i++)      n+1                            O(n) 线性阶

   x=x+1

for(i=0;i<n;i++)      n+1

   for(j=0;j<n;j++)   n(n+1)                       O(n^2) 平方阶

       x=x+1

算法与时间复杂性的关系

设A1，A2和A3是求解同一问题的不同算法，其时间复杂度分别为：O(n) O(nlogn) O(n!)。

C1和C2为计算机，且C2的计算速度是C1的10倍。

复杂度          C1可解规模          C2可解规模          可解规模关系

O(n)              N11                        N21                       N21 = 10 N11

O(nlogn)      N12                        N22                       N22 = 10 N12

O(n!)             N13                        N23                       N23 = N13 + 小常数