Affine Transform&Projection

来源：互联网发布：如何注册io域名编辑：程序博客网时间：2024/06/05 21:52

1. Affine Transform 仿射变换

放射变换（又称仿射映射）：在几何中，一个向量空间进行一次线性变换并接上一个平移，变换到另一个向量空间。

eg：对向量 $\vec{x}$ 平移 $\vec{b}$ ，与旋转缩放矩阵 $A$ 的仿射变换为

$\vec{y} = A \vec{x} + \vec{b}.$

在齐次坐标上，也可以表示为

$\begin{bmatrix} \vec{y} \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A & \vec{b} \ \\ 0, \ldots, 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \vec{x} \\ 1 \end{bmatrix}$

收缩平移仿射映射可以制造具有自相似性的分形。

2. Projection 投影

投影：从向量空间映射到自身的一种线性变换（将整个向量空间映射到它的其中一个子空间，并且在这个子空间中是恒等变换）。

eg：假设阳光是沿着同一个方向（比如说垂直于地面的角度）照射而来，大地是严格的平面，那么对于任何一个物体，它的位置可以用向量（x, y, z)来表示，而这个物体在阳光下对着一个影子，也就是(x, y, 0)，这样的一个变换就是投影变幻，它将三维空间中的向量(x, y, z)投影到向量(x, y, 0)。

变换矩阵可以表示为

$P = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}.$

对任意一个向量(x, y, z)，矩阵P的作用是：

$P \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}x \\ y \\ 0 \end{pmatrix}$

对affine transform和projection最简单形象的理解为前者为对向量vector进行旋转，缩放，平移等操作；后者则是将多维空间映射到其子空间中。

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