网络流学习笔记

概念：

1、点覆盖集：无向图G的一个点集，使得该图中所有边都至少有一个端点在该集合内。

2、最小点权覆盖集：在带点权无向图G中，点权之和最小的覆盖集。

3、点独立集：无向图G的一个点集，使得任两个在该集合中的点在原图中都不相邻。

4、最大点权独立集：在带权无向图G中，点权之和最大的独立集。

建图小技巧与模型：

1、最大流 = 最小割 = 最小点权覆盖集 = 点权和 – 最大点权独立集

2、点只能经过一次： 拆点，连权值为1的边

3、最小割中用正无限容量排除不参与决策的边。

4、最小割中利用与源或汇关联的边容量处理点权。

5、多源多汇问题： 建立超源超汇

6、结点容量： 拆点，连接一条权值为结点容量的边。

7、费用与流量平方成正比的最小流： 拆边法，拆成容量为1，费用为等差数列的若干条边。

在求最小割的实现上分两步，先求得最大流，再在得到最大流f 后的残留网络 f G中，从s开始深度优先遍历（DFS），所有被遍历到的点，即构成点集。

注意，虽然最小割 中的边都是满流边，但满流边不一定都是最小割中的边。在某些特殊图中，很容易犯错，误认为不用DFS，就可以直接得出割。

最大权闭合图：

1、定义：一个有向图 的闭合图是该有向图的一个点集，且该点集的所有出边都还指向该点集。即闭合图内的任意点的任意后继也一定在闭合图中。

2、在许多实际应用中，给出的有向图常常是一个有向无环图（DAG），闭合图的性质恰好反映了事件间的必要条件的关系：一个事件的发生，它所需要的所有前提也都要发生。一个常见的例子就是制定大学的选课计划，其中一些课程需要以另一些课程为基础，这就是给出了有向无环图。若给所有课程打分，最大权闭合图对应了获益最大或效率最高的选课计划，解决了这个问题，就可以容易地选出一个最合理的选课计划。

3、在另外一些实际应用中，给出的是一个一般有向图，即有可能出现圈（可以强连通缩点变成DAG）。常见的例子就是工程分期，一个工程可能含有很多项目，项目之间也有依赖关系。有些项目是需要同 期一起开发，互相依赖的（即出现圈）。这样，也可以利用最大权闭合图，将最先应该完成的项目选出来作为工程的第一期。

4、建模方式：源点S向每个正权点连一条权值为该点权值的边，每个负权点向汇点T连一条权值为该点权值绝对值的边，如果点a和点b有关系，则add(a,b,INF),结果为图中所有正权点的权值和--最大流。

持续更新。。。