复素数Prime Judge（新生归来赛B题）

来源：互联网发布：openwrt ip mac绑定编辑：程序博客网时间：2024/06/11 01:25

在此先感谢丁神一下，多谢丁神点播！！！顺便推广下丁神博客h

这道题，我头疼了一下午，真是都已经抓狂了，后来去请教了下丁神，才搞明白了，原来搞明白后是这么地简单。。O(∩_∩)O哈哈~，鉴于看丁神的样子，没有写题解的意思，我又为这道题头疼了好久（找了半天也找不到题解），那我今天就为这道题写一下题解吧！嘿嘿，写的不好的还望多多指教。。

好了，废话少说，进入正题。

这道题，在buaa的OJ上也有类似的，题目如下(这里是我们OJ上的题目，跟BUAA的略有不同，不过整体上昰一样的），

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题目描述

众所周知，如果一个正整数只能被1和自身整除，那么该数被称为素数。题目的任务很简单，就是判定一个数是否是一个素数。只不过可能数的形式与正整数有一些不同，数的形式为a+bi，其中a、b为整数，且ii被定义为-1。如果a+bi能被分解为(a1+b1i)(a2+b2i)的形式，那么该数不是素数；否则，该数是素数。其中a1 、b1、 a2 、b2均为整数，且1，-1，0，i，-i不能作为被分解的因子。注意，1，-1，0，i，-i均不为素数。

输入格式

输入包括若干组数据，每行包含2个数a、b，表示一个形如a+bi的数。a，b小于10000。

输出格式

对应于输入每行，如果输入的数为素数，则输出“YES”，否则输出“NO”。（不包括引号）

输入样例

-10 23 0

输出样例

NOYES

首先，复数 a+bi 是二维的，这个让人感觉很蛋疼，跟蛋疼的是这个a,b还都有可能是负数，怎么样做一个变换使得可以用一维的一个数来表示呢？我不知道什么定理，就是在草稿上列了好多的式子，过程如下：

首先，让我们先来证明一下一个定理，n是一个平方和 <==> 2n是一个平方和。先来证明充分性，设n=(a^2+b^2) 那么 2n=(a^2+b^2+a^2+b^2)=(a+b)^2+(a-b)^2,证毕；再来证明必要性, 2n是一个平方和，它也一定是一个偶数，那么设2n=a^2+b^2,由于2n是偶数，则a^2,b^2的奇偶性必然相同，则n=(a^2+b^2)/2=((a+b)^2+(a-b)^2)/4=((a+b)/2)^2+((a-b)/2)^2,由于a,b奇偶性必然相同，所以,a+b和a-b必然都是偶数，所以(a+b)/2,(a-b)/2都是整数，所以n也是平方和，证毕。

有了以上的定理，判断一个数是否是平方和就非常简单了，假设数n是平方和，那么，如果n为偶数的话，就有(n=n/2)也是平方和。一直除到n为奇数为止，此时n必然也是平方和，那么n必然是一个奇数的平方 + 一个偶数的平方，而奇数的平方为(2k+1)^2=4k+4k^2+1，它 mod 4==1；而同理，也可得偶数的平方 mod 4==0；综合以上两点，就有 n(n为奇数且n为平方和），那么n mod 4== 0+1=1（奇数对4取余只能是1或者3），所以，如果反之，除2至奇数的 n mod 4==3 的话，那么原来的n就不是平方和。

#include <cstdio>
#include <cstdlib>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <iostream>
#include <vector>
#include <algorithm>

using namespace std;

int main()
{
long long a,b;
while (~scanf("%lld%lld",&a,&b))
{
long long sp=a*a+b*b;
bool judge=false;
for (int i=2;i<=sqrt(sp);i++)
{
if (sp%i!=0) continue;
int j=sp/i;
while (i%2==0) i/=2;
while (j%2==0) j/=2;
if (i%4==1&&j%4==1)
{
judge=true;
break;
}
}
if (sp==1||sp==0) judge=true;
if (judge) printf("NO\n");
else printf("YES\n");

}
}

0 0