伸展树

        伸展树，是一种二叉排序树。它可以保证从空树开始任意连续M次对树的操作最多花费O(MlogN)时间。虽然这种保证并不排除任意一次操作花费O(N)时间的可能，而且这样的界也也不如每次操作最坏情形的界O(logN)那么短，但是实际效果是一样的：不存在坏的输入序列。一般来说，当M次操作的序列总的最坏情形运行时间为O(MF(N))时，我们说它的摊还(amortized)运行时间为O(F(N))。

        伸展树相比AVL树不需要额外的平衡因子或者高度等信息，在访问符合一定分布的数据集时性能尤佳，而且实现自顶向下的伸展树相对简单。

一，基本的自底向上伸展树

       伸展操作主要是将最近访问的结点通过一系列的旋转置于树的顶端。

 在旋转的时候，可以分为三种情况：

1、zig情况。
    X是查找路径上我们需要旋转的一个非根节点。
    如果X的父节点是根，那么我们用下图所示的方法旋转X到根：

这和一个普通的单旋转相同。
2、zig-zag情况。
在这种情况中，X有一个父节点P和祖父节点G（P的父节点）。X是右子节点，P是左子节点，或者反过来。这个就是双旋转。
先是X绕P左旋转，再接着X绕G右旋转。
如图所示：

3、zig-zig情况。
    这和前一个旋转不同。在这种情况中，X和P都是左子节点或右子节点。
    先是P绕G右旋转，接着X绕P右旋转。
    如图所示：

下面是一个例子，旋转节点c到根上。 

二、基本伸展树操作：
1、插入：
    当一个节点插入时，伸展操作将执行。因此，新插入的节点在根上。
2、查找：
    如果查找成功（找到），那么由于伸展操作，被查找的节点成为树的新根。
如果查找失败（没有），那么在查找遇到NULL之前的那个节点成为新的根。也就是，如果查找的节点在树中，那么，此时根上的节点就是距离这个节点最近的节点。
3、查找最大最小：
        查找之后执行伸展。
4、删除最大最小：
a)删除最小：
    首先执行查找最小的操作。
这时，要删除的节点就在根上。根据二叉查找树的特点，根没有左子节点。
使用根的右子结点作为新的根，删除旧的包含最小值的根。
b)删除最大：
首先执行查找最大的操作。
删除根，并把被删除的根的左子结点作为新的根。
5、删除：
        将要删除的节点移至根。
        删除根，剩下两个子树L（左子树）和R（右子树）。
        使用DeleteMax查找L的最大节点，此时，L的根没有右子树。
        使R成为L的根的右子树。
        如下图示：

三、自顶向下的伸展树：
    在自底向上的伸展树中，我们需要求一个节点的父节点和祖父节点，因此这种伸展树难以实现。因此，我们可以构建自顶向下的伸展树。
    当我们沿着树向下搜索某个节点X的时候，我们将搜索路径上的节点及其子树移走。我们构建两棵临时的树──左树和右树。没有被移走的节点构成的树称作中树。在伸展操作的过程中：
1、当前节点X是中树的根。
2、左树L保存小于X的节点。
3、右树R保存大于X的节点。
开始时候，X是树T的根，左右树L和R都是空的。和前面的自下而上相同，自上而下也分三种情况：
1、zig：

 如上图，在搜索到X的时候，所查找的节点比X小，将Y旋转到中树的树根。旋转之后，X及其右子树被移动到右树上。很显然，右树上的节点都大于所要查找的节点。注意X被放置在右树的最小的位置，也就是X及其子树比原先的右树中所有的节点都要小。这是由于越是在路径前面被移动到右树的节点，其值越大。

2、zig-zig:

在这种情况下，所查找的节点在Z的子树中，也就是，所查找的节点比X和Y都小。所以要将X，Y及其右子树都移动到右树中。首先是Y绕X右旋，然后Z绕Y右旋，最后将Z的右子树（此时Z的右子节点为Y）移动到右树中。注意右树中挂载点的位置。

3、zig-zag:

在这种情况中，首先将Y右旋到根。这和Zig的情况是一样的。然后变成上图右边所示的形状。接着，对Z进行左旋，将Y及其左子树移动到左树上。这样，这种情况就被分成了两个Zig情况。这样，在编程的时候就会简化，但是操作的数目增加（相当于两次Zig情况）。
    最后，在查找到节点后，将三棵树合并。如图：

将中树的左右子树分别连接到左树的右子树和右树的左子树上。将左右树作为X的左右子树。重新最成了一所查找的节点为根的树。

下面是一个查找节点19的例子：

    在例子中，树中并没有节点19,最后，距离节点最近的节点18被旋转到了根作为新的根。节点20也是距离节点19最近的节点，但是节点20没有成为新根，这和节点20在原来树中的位置有关系。

代码：

#include <iostream>#include <iomanip>#include <vector>#include <queue>using namespace std;typedef struct SplayTreeNode * SplayTree;typedef struct SplayTreeNode{int data;SplayTreeNode *lchild,*rchild;} SplayTreeNode;void BuildSplayTree(SplayTree *T){int item;cin>>item;if(item==-1){*T = NULL;}else {*T = new SplayTreeNode;(*T)->data = item; BuildSplayTree(&((*T)->lchild));BuildSplayTree(&((*T)->rchild));}}SplayTree SingleRotateWithLeft(SplayTree x){/* x has left child y */SplayTree y;y = x->lchild;x->lchild = y->rchild;y->rchild = x;return y;}SplayTree SingleRotateWithRight(SplayTree x){/* x has right child y */SplayTree y;y = x->rchild;x->rchild = y->lchild;y->lchild = x;return y;}SplayTree DoubleRotateWithLeft(SplayTree x){/* x has left child x->lchild  and also x->lchild has a  right child x->lchild->right*/x->lchild = SingleRotateWithRight(x->lchild);return SingleRotateWithLeft(x);}SplayTree DoubleRotateWithRight(SplayTree x){/* x has right child x->rchild  and also x->rchild has a  left child x->rchild->lchild*/x->rchild = SingleRotateWithLeft(x->rchild);return SingleRotateWithRight(x);}SplayTree Splay(int key,SplayTree X){/* simple top down  splay, not requiring key in the tree Xwhat it does is as described below                      */SplayTreeNode N;SplayTree left,right;if (X == NULL)return X;N.lchild = N.rchild = NULL;left = right = &N;while (key != X->data) {if (key < X->data){if (X->lchild == NULL) break;if( key < X->lchild->data) {/*小于左支路上连续的两个结点*/ X = SingleRotateWithLeft(X);}/*旋转之后看停止条件是否满足*/if (X->lchild == NULL)break;right->lchild = X;right = X;X = X->lchild;}else {if ( X->rchild == NULL)break;if ( key > X->rchild->data) {/*大于右支路上连续的两个结点*/ X = SingleRotateWithRight(X); }/*旋转后看是否满足停止条件*/ if (X->rchild == NULL)break;left->rchild = X;left = X;X = X->rchild;}}left->rchild = X->lchild;right->lchild = X->rchild;X->lchild = N.rchild;X->rchild = N.lchild;return X;} bool SplaySearch(int key, SplayTree *T){SplayTree t = *T;while (t != NULL) {if (key < t->data)t = t->lchild;else if (key > t->data)t = t->rchild;else {*T = Splay(key,*T);return true;}}return false;} SplayTree SplayInsert(int key,SplayTree T){SplayTree t;t = new SplayTreeNode;t->data = key;t->lchild = t->rchild = NULL; if (T == NULL) {T = t;}else {T = Splay(key,T);if (key < T->data) {t->lchild = T->lchild;t->rchild = T;T->lchild = NULL;T = t;}else {if (T->data <key) {t->rchild = T->rchild;t->lchild = T;T->rchild = NULL;T = t;}else {delete t;}}} return T;}SplayTree SplayDelete(int key, SplayTree T){SplayTree t;if (T != NULL) {T = Splay(key, T);if (key == T->data) {if (T->lchild == NULL)t = T->rchild;else {t = T->lchild;t = Splay(key,t);t->rchild = T->rchild;}delete T;T = t;}}return T;}inline int max(int a,int b){return a>b?a:b;}int Height(SplayTree T){if (T == NULL)return 0;elsereturn 1 + max(Height(T->lchild), Height(T->rchild));}void MakeMat(SplayTree T,int root_x,int root_y,int step,int **m){int lChildPos,rChildPos;lChildPos = root_x - step;rChildPos = root_x + step;if (T == NULL) return;else{m[root_y][root_x] = 1;MakeMat(T->lchild,lChildPos,root_y+1,step>>1,m);MakeMat(T->rchild,rChildPos,root_y+1,step>>1,m);}}void SplayTreeDisplay(SplayTree T){if(T == NULL)return;/* init placehold flags m[h][len] */int h = Height(T);int len = (1<<h) - 1;int row = h; int **m = new int*[row];for(int i= 0;i<row;i++){m[i] = new int[len];memset(m[i],0,len*sizeof(int));}/* get level order traversal sequence */vector<SplayTree> v;queue<SplayTree> q;queue<SplayTree> qt;q.push(T);SplayTree pt;while(!q.empty()){pt = q.front();if (pt->lchild != NULL)q.push(pt->lchild);if(pt->rchild != NULL)q.push(pt->rchild);v.push_back(pt);q.pop();}/* generate output matrix  plus '/' and '\\' m[2*h-1][len] */MakeMat(T,len>>1,0,len+1>>2,m);/* generate output */int cnt = 0;int width = 1;for(int i = 0; i < row; i++){for(int j = 0; j < len; j++){if(m[i][j]){//if (i & 1) //cout<<setw(width)<<char(m[i][j]);//else//cout<<setw(width)<<char(m[i][j]);//cout<<setw(width)<<m[i][j];cout<<(v[cnt])->data;cnt++;}elsecout<<setw(width)<<' ';}cout<<endl;}}int main(){SplayTree T = NULL;int i;//BuildSplayTree(&T); //SplayTreeDisplay(T);int a[] = {4,5,3,1,7,2,6}; for(i = 0; i < 6; i++) {cout<<"Key = "<<a[i]<<" inserting: "<<endl;T = SplayInsert(a[i],T);SplayTreeDisplay(T);cout<<"--------------------------------------------""--------------------"<<endl;}for(i = 0; i < 6; i++) {cout<<"Key = "<<a[i]<<" searching: "<<endl;SplaySearch(a[i],&T);SplayTreeDisplay(T);cout<<"--------------------------------------------""--------------------"<<endl;}for(i = 0; i < 6; i++) {cout<<"Key = "<<a[i]<<" deleting: "<<endl;T = SplayDelete(a[i],T);SplayTreeDisplay(T);cout<<"--------------------------------------------""--------------------"<<endl;}cout<<"Key = "<<19<<" deleting: "<<endl;T = SplayDelete(19,T);SplayTreeDisplay(T);cout<<"--------------------------------------------""--------------------"<<endl;} 

测试输出：

Key = 4 inserting: 4----------------------------------------------------------------Key = 5 inserting:  5 4  ----------------------------------------------------------------Key = 3 inserting:    3        4       5----------------------------------------------------------------Key = 1 inserting:        1                  3                4               5----------------------------------------------------------------Key = 7 inserting:        7          5            3             1 4            ----------------------------------------------------------------Key = 2 inserting:        2          1       5            3   7           4    ----------------------------------------------------------------Key = 4 searching:    4    2   5 1 3   7----------------------------------------------------------------Key = 5 searching:        5          4       7    2             1 3            ----------------------------------------------------------------Key = 3 searching:        3          2       4    1           5               7----------------------------------------------------------------Key = 1 searching:                                1                                                                              2                                                                      3                                                                  4                                                                5                                                               7----------------------------------------------------------------Key = 7 searching:        7          2            1   4             3 5        ----------------------------------------------------------------Key = 2 searching:        2          1       7            4             3 5    ----------------------------------------------------------------Key = 4 deleting:    3    2   7 1   5  ----------------------------------------------------------------Key = 5 deleting:    3    2   7 1      ----------------------------------------------------------------Key = 3 deleting:  2 1 7----------------------------------------------------------------Key = 1 deleting:  2   7----------------------------------------------------------------Key = 7 deleting: 2----------------------------------------------------------------Key = 2 deleting: ----------------------------------------------------------------Key = 19 deleting: ----------------------------------------------------------------

REF：

1，http://www.cnblogs.com/kernel_hcy/archive/2010/03/17/1688360.html

2，数据结构与算法分析--C语言描述 Mark Allen Weiss

3，http://digital.cs.usu.edu/~allan/DS/Notes/Ch22.pdf