十大基础实用算法之深度优先搜索和广度优先搜索

深度优先搜索算法（Depth-First-Search），是搜索算法的一种。它沿着树的深度遍历树的节点，尽可能深的搜索树的分支。当节点v的所有边都己被探寻过，搜索将回溯到发现节点v的那条边的起始节点。这一过程一直进行到已发现从源节点可达的所有节点为止。如果还存在未被发现的节点，则选择其中一个作为源节点并重复以上过程，整个进程反复进行直到所有节点都被访问为止。DFS属于盲目搜索。

深度优先搜索是图论中的经典算法，利用深度优先搜索算法可以产生目标图的相应拓扑排序表，利用拓扑排序表可以方便的解决很多相关的图论问题，如最大路径问题等等。一般用堆数据结构来辅助实现DFS算法。

深度优先遍历图算法步骤：

1. 访问顶点v；

2. 依次从v的未被访问的邻接点出发，对图进行深度优先遍历；直至图中和v有路径相通的顶点都被访问；

3. 若此时图中尚有顶点未被访问，则从一个未被访问的顶点出发，重新进行深度优先遍历，直到图中所有顶点均被访问过为止。

上述描述可能比较抽象，举个实例：

DFS 在访问图中某一起始顶点 v 后，由 v 出发，访问它的任一邻接顶点 w1；再从 w1 出发，访问与 w1邻 接但还没有访问过的顶点 w2；然后再从 w2 出发，进行类似的访问，… 如此进行下去，直至到达所有的邻接顶点都被访问过的顶点 u 为止。

接着，退回一步，退到前一次刚访问过的顶点，看是否还有其它没有被访问的邻接顶点。如果有，则访问此顶点，之后再从此顶点出发，进行与前述类似的访问；如果没有，就再退回一步进行搜索。重复上述过程，直到连通图中所有顶点都被访问过为止。

深度优先搜索的图文介绍

下面以"无向图"为例，来对深度优先搜索进行演示。

对上面的图G1进行深度优先遍历，从顶点A开始。

第1步：访问A。 
第2步：访问(A的邻接点)C。 
    在第1步访问A之后，接下来应该访问的是A的邻接点，即"C,D,F"中的一个。但在本文的实现中，顶点ABCDEFG是按照顺序存储，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。 
第3步：访问(C的邻接点)B。 
    在第2步访问C之后，接下来应该访问C的邻接点，即"B和D"中一个(A已经被访问过，就不算在内)。而由于B在D之前，先访问B。 
第4步：访问(C的邻接点)D。 
    在第3步访问了C的邻接点B之后，B没有未被访问的邻接点；因此，返回到访问C的另一个邻接点D。 
第5步：访问(A的邻接点)F。 
    前面已经访问了A，并且访问完了"A的邻接点B的所有邻接点(包括递归的邻接点在内)"；因此，此时返回到访问A的另一个邻接点F。 
第6步：访问(F的邻接点)G。 
第7步：访问(G的邻接点)E。

因此访问顺序是：A -> C -> B -> D -> F -> G -> E

下面以"有向图"为例，来对深度优先搜索进行演示。

对上面的图G2进行深度优先遍历，从顶点A开始。

第1步：访问A。 
第2步：访问B。 
    在访问了A之后，接下来应该访问的是A的出边的另一个顶点，即顶点B。 
第3步：访问C。 
    在访问了B之后，接下来应该访问的是B的出边的另一个顶点，即顶点C,E,F。在本文实现的图中，顶点ABCDEFG按照顺序存储，因此先访问C。 
第4步：访问E。 
    接下来访问C的出边的另一个顶点，即顶点E。 
第5步：访问D。 
    接下来访问E的出边的另一个顶点，即顶点B,D。顶点B已经被访问过，因此访问顶点D。 
第6步：访问F。 
    接下应该回溯"访问A的出边的另一个顶点F"。 
第7步：访问G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> D -> F -> G

下面介绍广度优先搜索

广度优先搜索算法（Breadth-First-Search），是一种图形搜索算法。简单的说，BFS是从根节点开始，沿着树(图)的宽度遍历树(图)的节点。如果所有节点均被访问，则算法中止。BFS同样属于盲目搜索。一般用队列数据结构来辅助实现BFS算法。

算法步骤：

1. 首先将根节点放入队列中。

2. 从队列中取出第一个节点，并检验它是否为目标。

• 如果找到目标，则结束搜寻并回传结果。
• 否则将它所有尚未检验过的直接子节点加入队列中。

3. 若队列为空，表示整张图都检查过了——亦即图中没有欲搜寻的目标。结束搜寻并回传“找不到目标”。

4. 重复步骤2。

广度优先搜索图文介绍

下面以"无向图"为例，来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G1为例进行说明。

第1步：访问A。 
第2步：依次访问C,D,F。 
    在访问了A之后，接下来访问A的邻接点。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，C在"D和F"的前面，因此，先访问C。再访问完C之后，再依次访问D,F。 
第3步：依次访问B,G。 
    在第2步访问完C,D,F之后，再依次访问它们的邻接点。首先访问C的邻接点B，再访问F的邻接点G。 
第4步：访问E。 
    在第3步访问完B,G之后，再依次访问它们的邻接点。只有G有邻接点E，因此访问G的邻接点E。

因此访问顺序是：A -> C -> D -> F -> B -> G -> E

下面以"有向图"为例，来对广度优先搜索进行演示。还是以上面的图G2为例进行说明。

第1步：访问A。 
第2步：访问B。 
第3步：依次访问C,E,F。 
    在访问了B之后，接下来访问B的出边的另一个顶点，即C,E,F。前面已经说过，在本文实现中，顶点ABCDEFG按照顺序存储的，因此会先访问C，再依次访问E,F。 
第4步：依次访问D,G。 
    在访问完C,E,F之后，再依次访问它们的出边的另一个顶点。还是按照C,E,F的顺序访问，C的已经全部访问过了，那么就只剩下E,F；先访问E的邻接点D，再访问F的邻接点G。

因此访问顺序是：A -> B -> C -> E -> F -> D -> G

借用知乎里的一句话，Talk is cheap,show me your code.

邻接矩阵的无向图：（代码经过实验，可产生如上的访问顺序）

#include <iostream>using namespace std;const int MAX = 100;class MatrixUDG{public:MatrixUDG();//创建图，自己输入数据MatrixUDG(char vexs[],int vlen,char edges[][2],int elen);//使用已经存在的矩阵~MatrixUDG();void DFS();void BFS();void print();private:char mVexs[MAX];//顶点集合int mVexNum;    //顶点数int mEdgNum;    //边数int mMatrix[MAX][MAX]; //邻接矩阵char readChar();//读取一个输入字符串int getPosition(char ch);//返回ch在mMatrix矩阵中的位置int firstVertex(int v);//返回顶点v的第一个邻接顶点的索引，失败则返回-1int nextVertex(int v,int w);//返回顶点v的相对于顶点w的下一个索引，失败则返回-1void DFS(int i,int *visted);//深度优先搜索遍历图的递归实现};MatrixUDG::MatrixUDG(){char c1,c2;int i,p1,p2;//input vertex and edge numbercout<<"input vertex number:";cin>>mVexNum;cout<<"input edge number:";cin>>mEdgNum;if(mVexNum<1 || mEdgNum<1 || mEdgNum>mVexNum*(mVexNum - 1)){cout<<"input error:invalid parameters!";return;}// init vertexfor(i = 0;i<mVexNum;i++){cout<<"vertex("<<i<<")"<<endl;mVexs[i] = readChar();}//init edgefor(i = 0;i<mEdgNum;i++){cout<<"edge("<<i<<")";c1 = readChar();c2 = readChar();p1 = getPosition(c1);p2 = getPosition(c2);if(p1 == -1 || p2 == -1){cout<<"input error:invalid parameters."<<endl;return;}mMatrix[p1][p2] = 1;mMatrix[p2][p1] = 1;}}MatrixUDG::MatrixUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen){    int i, p1, p2;        // 初始化"顶点数"和"边数"    mVexNum = vlen;    mEdgNum = elen;    // 初始化"顶点"    for (i = 0; i < mVexNum; i++)        mVexs[i] = vexs[i];    // 初始化"边"    for (i = 0; i < mEdgNum; i++)    {        // 读取边的起始顶点和结束顶点        p1 = getPosition(edges[i][0]);        p2 = getPosition(edges[i][1]);        mMatrix[p1][p2] = 1;        mMatrix[p2][p1] = 1;    }}MatrixUDG::~MatrixUDG(){}int MatrixUDG::getPosition(char ch){int i;for(i = 0;i<mVexNum;i++)if(mVexs[i] == ch)return i;return -1;}char MatrixUDG::readChar(){char ch;do{cin>>ch;}while(!((ch>='a' && ch<='z') || (ch>='A' && ch<='Z')));return  ch;}int MatrixUDG::firstVertex(int v){int i;if(v<0 || v>(mVexNum - 1))return -1;for(i = 0;i<mVexNum;i++){if(mMatrix[v][i] == 1)return i;}return -1;}int MatrixUDG::nextVertex(int v,int w){int i;if(v<0 || v>(mVexNum - 1) || w<0 || w>(mVexNum - 1))return -1;for(i = w+1;i<mVexNum;i++){if(mMatrix[v][i] == 1)return i;}return -1;}void MatrixUDG::DFS(int i,int *visted){int w;visted[i] = 1;cout<<mVexs[i]<<' ';for(w = firstVertex(i);w>=0;w = nextVertex(i,w)){if(!visted[w])DFS(w,visted);}}void MatrixUDG::DFS(){int i;int visted[MAX];for(i = 0;i<mVexNum;i++)visted[i] = 0;cout<<"DFS:";for(i = 0;i<mVexNum;i++){if(!visted[i])DFS(i,visted);}cout<<endl;}void MatrixUDG::BFS(){int head = 0;int rear = 0;int queue[MAX];int visted[MAX];int i,j,k;for(i = 0;i<mVexNum;i++)visted[i] = 0;cout<<"BFS:";for(i = 0;i<mVexNum;i++){if(!visted[i]){visted[i] = 1;cout<<mVexs[i]<<' ';queue[rear++] = i;//in queue}while(head != rear){j = queue[head++];for(k = firstVertex(j);k >= 0;k = nextVertex(j,k)){if(!visted[k]){visted[k] = 1;cout<<mVexs[k]<<" ";queue[rear++] = k;}}}}cout<<endl;}void MatrixUDG::print(){int i,j;cout<<"Matrix Graph:"<<endl;cout<<"   A  B  C  D  E  F  G"<<endl;for(i = 0;i<mVexNum;i++){cout<<mVexs[i]<<"  ";for(j = 0;j<mVexNum;j++)    cout<<(mMatrix[i][j] == 1?1:0)<<"  ";cout<<endl;}}int main(){char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};    char edges[][2] = {        {'A', 'C'},         {'A', 'D'},         {'A', 'F'},         {'B', 'C'},         {'C', 'D'},         {'E', 'G'},         {'F', 'G'}};    int vlen = sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);    int elen = sizeof(edges)/sizeof(edges[0]);    MatrixUDG* pG;    // 自定义"图"(输入矩阵队列)    //pG = new MatrixUDG();    // 采用已有的"图"    pG = new MatrixUDG(vexs, vlen, edges, elen);    pG->print();   // 打印图   pG->DFS();     // 深度优先遍历    pG->BFS();     // 广度优先遍历    return 0;}

以下是针对邻接表和有向图的代码，思想均与上述方法类似。没有经过检验。

其中有向图的改动较小，只需要在添加边的时候添加一条边即可。不再显示代码。

以下是邻接表的实现，关键的是节点定义和访问方法的改变。

#include <iomanip>#include <iostream>#include <vector>using namespace std;#define MAX 100// 邻接表class ListUDG{    private: // 内部类        // 邻接表中表对应的链表的顶点        class ENode        {            public:                int ivex;           // 该边所指向的顶点的位置                ENode *nextEdge;    // 指向下一条弧的指针        };        // 邻接表中表的顶点        class VNode        {            public:                char data;          // 顶点信息                ENode *firstEdge;   // 指向第一条依附该顶点的弧        };private: // 私有成员        int mVexNum;             // 图的顶点的数目        int mEdgNum;             // 图的边的数目        VNode mVexs[MAX];    public:        // 创建邻接表对应的图(自己输入)ListUDG();        // 创建邻接表对应的图(用已提供的数据)        ListUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen);~ListUDG();        // 深度优先搜索遍历图        void DFS();        // 广度优先搜索（类似于树的层次遍历）        void BFS();        // 打印邻接表图        void print();private:        // 读取一个输入字符        char readChar();        // 返回ch的位置        int getPosition(char ch);        // 深度优先搜索遍历图的递归实现        void DFS(int i, int *visited);        // 将node节点链接到list的最后        void linkLast(ENode *list, ENode *node);};/* * 创建邻接表对应的图(自己输入) */ListUDG::ListUDG(){    char c1, c2;    int v, e;    int i, p1, p2;    ENode *node1, *node2;    // 输入"顶点数"和"边数"    cout << "input vertex number: ";    cin >> mVexNum;    cout << "input edge number: ";    cin >> mEdgNum;    if ( mVexNum < 1 || mEdgNum < 1 || (mEdgNum > (mVexNum * (mVexNum-1))))    {        cout << "input error: invalid parameters!" << endl;        return ;    }     // 初始化"邻接表"的顶点    for(i=0; i<mVexNum; i++)    {        cout << "vertex(" << i << "): ";        mVexs[i].data = readChar();        mVexs[i].firstEdge = NULL;    }    // 初始化"邻接表"的边    for(i=0; i<mEdgNum; i++)    {        // 读取边的起始顶点和结束顶点        cout << "edge(" << i << "): ";        c1 = readChar();        c2 = readChar();        p1 = getPosition(c1);        p2 = getPosition(c2);        // 初始化node1        node1 = new ENode();        node1->ivex = p2;        // 将node1链接到"p1所在链表的末尾"        if(mVexs[p1].firstEdge == NULL)          mVexs[p1].firstEdge = node1;        else            linkLast(mVexs[p1].firstEdge, node1);        // 初始化node2        node2 = new ENode();        node2->ivex = p1;        // 将node2链接到"p2所在链表的末尾"        if(mVexs[p2].firstEdge == NULL)          mVexs[p2].firstEdge = node2;        else            linkLast(mVexs[p2].firstEdge, node2);    }}/* * 创建邻接表对应的图(用已提供的数据) */ListUDG::ListUDG(char vexs[], int vlen, char edges[][2], int elen){    char c1, c2;    int i, p1, p2;    ENode *node1, *node2;    // 初始化"顶点数"和"边数"    mVexNum = vlen;    mEdgNum = elen;    // 初始化"邻接表"的顶点    for(i=0; i<mVexNum; i++)    {        mVexs[i].data = vexs[i];        mVexs[i].firstEdge = NULL;    }    // 初始化"邻接表"的边    for(i=0; i<mEdgNum; i++)    {        // 读取边的起始顶点和结束顶点        c1 = edges[i][0];        c2 = edges[i][1];        p1 = getPosition(c1);        p2 = getPosition(c2);        // 初始化node1        node1 = new ENode();        node1->ivex = p2;        // 将node1链接到"p1所在链表的末尾"        if(mVexs[p1].firstEdge == NULL)          mVexs[p1].firstEdge = node1;        else            linkLast(mVexs[p1].firstEdge, node1);        // 初始化node2        node2 = new ENode();        node2->ivex = p1;        // 将node2链接到"p2所在链表的末尾"        if(mVexs[p2].firstEdge == NULL)          mVexs[p2].firstEdge = node2;        else            linkLast(mVexs[p2].firstEdge, node2);    }}/*  * 析构函数 */ListUDG::~ListUDG() {}/* * 将node节点链接到list的最后 */void ListUDG::linkLast(ENode *list, ENode *node){    ENode *p = list;    while(p->nextEdge)        p = p->nextEdge;    p->nextEdge = node;}/* * 返回ch的位置 */int ListUDG::getPosition(char ch){    int i;    for(i=0; i<mVexNum; i++)        if(mVexs[i].data==ch)            return i;    return -1;}/* * 读取一个输入字符 */char ListUDG::readChar(){    char ch;    do {        cin >> ch;    } while(!((ch>='a'&&ch<='z') || (ch>='A'&&ch<='Z')));    return ch;}/* * 深度优先搜索遍历图的递归实现 */void ListUDG::DFS(int i, int *visited){    ENode *node;    visited[i] = 1;    cout << mVexs[i].data << " ";    node = mVexs[i].firstEdge;    while (node != NULL)    {        if (!visited[node->ivex])            DFS(node->ivex, visited);        node = node->nextEdge;    }}/* * 深度优先搜索遍历图 */void ListUDG::DFS(){    int i;    int visited[MAX];       // 顶点访问标记    // 初始化所有顶点都没有被访问    for (i = 0; i < mVexNum; i++)        visited[i] = 0;    cout << "DFS: ";    for (i = 0; i < mVexNum; i++)    {        if (!visited[i])            DFS(i, visited);    }    cout << endl;}/* * 广度优先搜索（类似于树的层次遍历） */void ListUDG::BFS(){    int head = 0;    int rear = 0;    int queue[MAX];     // 辅组队列    int visited[MAX];   // 顶点访问标记    int i, j, k;    ENode *node;    for (i = 0; i < mVexNum; i++)        visited[i] = 0;    cout << "BFS: ";    for (i = 0; i < mVexNum; i++)    {        if (!visited[i])        {            visited[i] = 1;            cout << mVexs[i].data << " ";            queue[rear++] = i;  // 入队列        }        while (head != rear)         {            j = queue[head++];  // 出队列            node = mVexs[j].firstEdge;            while (node != NULL)            {                k = node->ivex;                if (!visited[k])                {                    visited[k] = 1;                    cout << mVexs[k].data << " ";                    queue[rear++] = k;                }                node = node->nextEdge;            }        }    }    cout << endl;}/* * 打印邻接表图 */void ListUDG::print(){    int i,j;    ENode *node;    cout << "List Graph:" << endl;    for (i = 0; i < mVexNum; i++)    {        cout << i << "(" << mVexs[i].data << "): ";        node = mVexs[i].firstEdge;        while (node != NULL)        {            cout << node->ivex << "(" << mVexs[node->ivex].data << ") ";            node = node->nextEdge;        }        cout << endl;    }}int main(){    char vexs[] = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};    char edges[][2] = {        {'A', 'C'},         {'A', 'D'},         {'A', 'F'},         {'B', 'C'},         {'C', 'D'},         {'E', 'G'},         {'F', 'G'}};    int vlen = sizeof(vexs)/sizeof(vexs[0]);    int elen = sizeof(edges)/sizeof(edges[0]);    ListUDG* pG;    // 自定义"图"(输入矩阵队列)    //pG = new ListUDG();    // 采用已有的"图"    pG = new ListUDG(vexs, vlen, edges, elen);    pG->print();   // 打印图    pG->DFS();     // 深度优先遍历    pG->BFS();     // 广度优先遍历    return 0;}