n条直线最多能划分出多少个平面?

N条直线，两两相交，其交点各不不同，则产生的交点数目为N个数中取2个数的组合； 同时，也只有这种情况下（两两相交，也交点不同），分割的平面数最多， 数目为： 2 + (N-1)(N+2)/2.  这里求最少平面数没有意义，因为最少平面数就是N+1, 即N条直线两两平行的时候，分割的平面最少。

举例：

1条直线分割平面数最多为2； a1 = 2

2条直线分割平面数最多为4；    为1条直线时分割数目+2    a2 = a1 + 2

3条直线分割平面数最多为7；    为2条直线时分割数目+3    a3 = a2 + 3 = a1 + 2 + 3

        4条直线分割平面数最多为11；  为3条直线时分割数目+4    a4 = a3 + 4 = a1 + 2 + 3 + 4

        5条直线分割平面数最多为16；  为4条直线时分割数目+5    a5 = a4 + 5 = a1 + 2 + 3 + 4 + 5

        6条直线分割平面数最多为22；  为5条直线时分割数目+6    a6 = a5 + 6 = a1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6

 

因此 an = a1 + 2 + 3 + ... + n. 

 

可以看到分割的平面数的差值按照等差数列递增，因此 第N条直线分割的最多平面数为：2 + (n-2+1)(2+n) / 2.

或者

对n条直线最多划分平面数：

    (1)使用递归

         f(n) = n + f(n-1) ,   n > 1     

         f(n) = 2               ,   n = 1

    (2)使用递推

         n = 1,  S1 = 2       

         n > 1,  Sn = 2 + 2 + 3 ＋ …… ＋ n  = 1 + n * (n+1) / 2