POJ 1797 Heavy Transportation(Dijkstra变形) 解题报告

题目大意：

         有一张无向图，n（1<=n<=1000）个顶点，m条边，没有重边。每条边都有流量限制，求从点1到点n的一条路径，使得流量最大，输出该流量。

 

解题思路：

         首先要注意这道题和网络流最大流问题的区别，初学者可能会有点晕：网络流可以由多条路径流到汇点，但这道题只有一条路径！

         单源，单路径，那么就用Dijkstra算法啦，只不过需要改变下松弛条件：以前是选取X集合外的距离最小的点加入X集合；现在是选取X集合外流量最大的点加入X集合，假设现在选取点u加入X集合，更新点v时——d[v] = max(d[v],min(d[u],g[u][v]));        意思是首先比较到点u的流量和g[u][v]，选择小的一个作为从u到v的流量，然后再与原来的d[v]比较，选取大的作为新的d[v]。

         另外要注意的是，改变了松弛条件，相应的，d数组的初始化也要相应的改变，d[s]也要初始化为Inf，而不是0，即初始在起点是有无限大的流量。

 

我用的邻接矩阵存储，朴素Dijkstra，时间复杂度O(n²)，实际运行时间：

C++代码：

//dijkstra算法的一道变体，要改变下松弛条件。要注意和网络流最大流的区别，这道题只找一条路，网络流可以有多条流#include <cstdio>#include <cstring>#include <cmath>#include <algorithm>using namespace std;const int MAXN = 1005;const int INF = 1<<29;int g[MAXN][MAXN];int d[MAXN];bool visit[MAXN];int n;int dij(int s,int t){    int i,u,v;    memset(visit,0,sizeof(visit));    memset(d,0,sizeof(d));      //这道题要改变松弛条件，相应的，d数组的初始化改变。    for (i = 2; i <= n; ++i)        if (g[1][i] > 0)            d[i] = g[1][i];    visit[1] = true;    d[1] = INF;    while (1)    {        u = -1;        for (v = 1; v <= n; ++v)            if (!visit[v] && (u == -1 || d[v] > d[u]))                u = v;        if (u == -1)            break;        visit[u] =true;        int tmp;        for (v = 1; v <= n; ++v){            if (g[u][v] > 0){                tmp = min(d[u],g[u][v]);                if (tmp > d[v])                    d[v] = tmp;            }        }    }    return d[t];}int main(){    int T,m,u,v,w,i,cas = 1;    scanf("%d",&T);    while (T--)    {        memset(g,-1,sizeof(g));        scanf("%d %d",&n,&m);        for (i = 0; i < m; ++i)        {            scanf("%d %d %d",&u,&v,&w);            g[u][v] = g[v][u] = w;        }        printf("Scenario #%d:\n%d\n\n",cas++,dij(1,n));    }    return 0;}