HDU 2486 HDU2580 POJ3922 a simple stone game

题意：一堆石子中有n个石子，两个人从这一堆中相互取石子，规则如下：每个回合，每个人至少取一个石子。首先进行游戏的人不能取玩所有的石子。此后，每个人取石子的上限是上一个人取石子个数的k倍。给出n和k，判断先手是否必胜。如果先手必胜，输出先手本回合取出石子的个数。

思路：

可以想到必胜策略为：先手能通过取不同数目的石子，让后手无法取玩所有的石子。如果不能这样，先手就是必败的。

思路1：构造法  思路来自：斐波那契博弈

构造一个数列an，将每个自然数都表示成an中不连续的几项的和：ai1 + ai2 +...+ain(i1 < i2 <...<in)。 数列an中：a(i+1) > k* ai,即满足题中的k倍关系。

则必胜策略为：1.如果该堆石子恰是数列an中的一项。则后手赢。因为不管先手怎么取石子，他总可以取石子使石子的个数再次回到an中的某项。由前面的构造可知，先手是无法取完这一堆石子。

2.否则，该堆石子可以表示为an中的不连续几项的和，设表示形式为：ai1 + ai2 +...+ain(i1 < i2 <...<in).则对于先手，只需取其中的最小的ai1个石子。由前面的构造可知，后手取走的石子不会超过ai2个。接下来，对剩下的石子仍然做上述的分解，则后手永远取不完石子。先手胜。而必胜策略就是取分解中的最小ai1.

#include <iostream>#include <cstdio>#define maxn 5000000using namespace std;int a[maxn],b[maxn],k,n,i,j,ans;//int main(){    int t,cas=0;    scanf("%d",&t);    while (t--)    {        scanf("%d%d",&n,&k);        a[0]=b[0]=1;//a[n]表示构造数列的第n项，b[n]表示数列a前n项中某几项能表示最大的和，数列a中的这些项满足前后两项不相邻，且后项比前项大k倍        i=j=0;        for (; a[i]<n; i++)        {            a[i+1]=b[i]+1;//b[i]+1无法由前面的项的和构造出来，必须在加入该项。            while (a[j+1]*k<a[i+1]) j++;            if (a[j]*k<a[i+1]) b[i+1]=b[j]+a[i+1];                else b[i+1]=a[i+1];        }        printf("Case %d: ",++cas);        if (n==a[i]) printf("lose\n");        else        {            for (; n; i--)                if (n>=a[i]) n-=a[i],ans=a[i];            printf("%d\n",ans);        }    }    return 0;}

思路2：根据《从“k 倍动态减法游戏”出发探究一类组合游戏问题》论文，我们还能得到另一种解法

由于复杂度是O(n),相对于上面的代码，这个比较慢.

#include <cstdio>#include <stack>#include <utility>#include <algorithm>#include <ctime>using namespace std;const int MAX = 100000010;int f[MAX];int s[MAX];int h[MAX];int ps;int n, k;void gg(){f[1] = 1;ps = -1;s[++ps] = 1;h[ps] = 1;for (int i = 2; i <= n; ++i){while (ps >= 0){double d = (double)(i - s[ps]) * k;if (d < (double)h[ps]) {f[i] = i - s[ps];if (f[i] != 0)s[++ps]= i,h[ps] = f[i];break;}else{ps--;continue;}}if (ps == -1){f[i] = i;s[++ps] = i;h[ps] = i;}}}int main(void){    //freopen("input.txt","r",stdin);int T;scanf("%d", &T);for (int i = 1; i <= T; ++i){scanf("%d%d", &n, &k);gg();printf("Case %d: ", i);if (f[n] == n)printf("lose\n");elseprintf("%d\n", f[n]);}return 0;}