有关树状数组的几个总结

树状数组总结（PS：这里没有代码以及链接，如果要看的话请去我的octopress博客看，链接在这里）

written Jul 23rd, 2014

一维树状数组应用的三种类型总结。

• 点修改，区间查询
• 区间修改，点查询
• 区间修改，区间查询

• 点修改，区间查询

这是最基础的树状数组了，树状数组的定义就是这样的，不过一般出 题不会直接出裸的树状数组，这之中需要一些思考.树状数组我就不 介绍了，直接上一个例题吧

BOJ 395. Tree

题意大概是给你一棵树，并给每个节点一个value值（1=<value <= 109 ), 让你求从根节点开始，一直到某个节点（称为当前节点）的这条路中经过的所有节点，value值比当前节点大的（包括跟节点）总共有多少个。节点数100000以内，要求输出所有的节点的结果。

废话不多说，直接说思路吧。

首先，需要对value值进行离散化，因为你只需要知道各个点value值的大小关系，二者相差1跟相差10000没有什么区别。离散化时记得等于要按照相同的数来处理。

然后，树状数组记录的是这样一个数组a[n]的和，其中a[i]代表搜索到当前节点时，离散化后的value值（以后称为v)为i的节点的个数。对于每个节点p，当搜索到当前节点的时候，维护树状数组的值，并求出比当前节点的v值大的总共有多少个（就是getSum(MAX)-getSum(v));搜索用的是dfs，当搜索到叶子节点后回溯时，要记得释放修改过的节点，重新维护更新树状数组。思路大概如此，如果理解了树状数组的话，结合代码应该很容易看懂

另外，在放一道练习题，是我第一次接触树状数组时做的题，也是比较难想，有兴趣可以去做一做，POJ 2299

• 区间修改，点查询

我目前做题还比较少，这种题还没有碰到过，就是实现对数组的区间修改，然后查询单点的值。看起来貌似是跟树状数组相反的，其实只要稍作变形，就很容易搞定。

设a[n]为树状数组求和的数组，然后设b[n]=a[n]-a [n-1] (将a[0]设为0）;那么b[ 1 ]=a[ 1 ] ,数组b存储的就是数组a的相邻两项的差值；那么区间修改就很容易了，假如要修改[ l , r ]区间的值，那么只需要修改 b [ l ] (因为b[ l ] 存的是a[ l ]与a[ l-1 ]的差值，a[ l ]，变了，a[ l-1 ]没变，那么差值自然就变了)和b [ r+1 ] (跟前面同理)。所以这样很容易实现区间修改，那么单点查询呢？你可以试试吧b[1]到b[n]加起来，然后你就清楚了。

至于这一部分的题嘛，我也没有见到过，毕竟做的题还不是很多。了解一下，知道想法，以后碰到了会做就行

• 区间修改，区间查询

最后的这个，是最麻烦的，一般可以用线段树来实现，但这里我只说树状数组的方法（比一般的线段树要快一些）。

这个是不能单单依靠一个树状数组来实现的，先来进行下推导吧！这个推导的时候请自行揣摩一下，要自己推出来才能记得住哦!

首先，还是设树状数组存储的是a[ n ]的和，依然设b[ n ]=a[ n ]– a[ n – 1 ];通过上面的讨论，我们知道这样可以很容易进行区间修改和单点查询，但是呢，这里要求是是区间查询，该怎么办呢？得想办法再找到一个辅助数组。我们来进行一下推导（其中sigma代表i从1到n的求和符号）

则sigma(a [ i ] )= a [ 1 ] + a [ 2 ] + a [ 3 ]+……+a [ n ],把a[ n ]=b [ n ] + a[ n-1 ] 代入，可以得到 原式= b [ n ] + 2 b [ n-1 ] + 3 b [ n-2 ]+……+ n b[ 1 ]= ( n+1 )sigma( b[ i ])– sigma ( i b[ i ])

好了，推导万这些，你是不是发现了点什么？没错，数组a的前n项和可以用数组b和数组 c[ i ]=i b[ i ] 两个数组来表示，我们只需要分别设计 求 b[ i ]和求 c [ i ]的和的树状数组，就能够实现对a[ i ]的区间修改和区间查询啦！

放一道例题，是赤果果的区间修改，区间查询， POJ 3468 再附上我的一个AC代码<-BACK