树状数组的修改与查询总结

      研究了很长时间的树状数组，下面来做一个自己的总结。(如果以下见解有什么问题，欢迎指出)

      树状数组是真的很有意思，根据我现在的理解，如果普普通通的不做任何东西，那么他的单点修改适用于区间查询，他的区间修改，适用于单点查询。

如果想要区间修改区间查询，就得费一点功夫了。

一 ：单点修改，区间查询

       这是树状数组一个比较常规的用法，不再详细解释。

      

int low_bit(int x){return x&(-x);}void add(int i,int c){    while(i<=n)   //n是一共有多少点    {a[i]+=c;i+=low_bit(i);    } }int q(int i){    int ans=0;    while(i>0)    {ans+=a[i];i-=low_bit(i);    }    return ans;   } int main(){    add(i,c);   //  i是对那个点增加   c 是要增加的多少       //若查询  l--r  区间的和    ans=q(r)-q(l-1);}

二 ：单点修改，单点查询

这问题挺傻逼的，这东西直接用数组就行了，没必要再用树状数组了。

三 ：区间修改，单点查询

       这也是树状数组一个比较常规的用法，不再详细解释

      

int low_bit(int x){    return x&(-x);}void add(int i,int c){    while(i<=n)  //n是一共有多少点    {  a[i]+=c; i+=low_bit(i);    } }int q(int i){   int ans=0;   while(i>0)   {       ans+=a[i];       i-=low_bit(i);   }   return ans;}int main(){add(l,c)  add(r+1,-c)//对l--r区间加 c  q(i) //查询i点的值 }

四 ：区间修改，区间查询

        这可能也是比较难理解的地方了。

        但是认真仔细的看一看，还是很好理解的。

        这也是，我看别人的博客，才知道的。

        首先我们设原来的数组是a[i]，a[i]里保存的是前i个元素的值总和。

        然后设C1,C1代表的是a[i]-a[i-1]，那么就是第i个元素的值；

        我们假设sigma(r,i),表示r数组前i项的和。      

     网上有这样一个式子，其实这个式子的误导性很大。     

     a[1]+a[2]+...+a[n]

     = (c[1]) + (c[1]+c[2]) + ... + (c[1]+c[2]+...+c[n]) 

     = n*c[1] + (n-1)*c[2] +... +c[n]

     = n * (c[1]+c[2]+...+c[n]) - (0*c[1]+1*c[2]+...+(n-1)*c[n])    (式子①)

     那么我们就维护一个数组c2[n]，其中c2[i] = (i-1)*c[i]

     式子①=n*sigma(c,n) - sigma(c2,n)

     下面我们看一道题，来展示一下代码。

    

给你N个数，有两种操作：

1：给区间[a,b]的所有数增加X

2：询问区间[a,b]的数的和。

输入描述 Input Description

第一行一个正整数n，接下来n行n个整数，

 

再接下来一个正整数Q，每行表示操作的个数，

 

如果第一个数是1，后接3个正整数，

 

表示在区间[a,b]内每个数增加X,如果是2，

 

表示操作2询问区间[a,b]的和是多少。

pascal选手请不要使用readln读入

输出描述 Output Description

对于每个询问输出一行一个答案

样例输入 Sample Input

3

1

2

3

2

1 2 3 2

2 2 3

样例输出 Sample Output

9

数据范围及提示 Data Size & Hint

数据范围

1<=n<=200000

1<=q<=200000

        题目来源：点击打开链接

       

#include <cstdio>  #define lowbit(x) (x&-x)  #define ll long long  #define maxn 200010  using namespace std;  ll n, q, c1[maxn], c2[maxn], num[maxn];  void add(ll *r, ll pos, ll v)  {for(;pos<=n;pos+=lowbit(pos))r[pos]+=v;}  ll sigma(ll *r, ll pos)  {      ll ans;      for(ans=0;pos;pos-=lowbit(pos))ans+=r[pos];      return ans;  }  int main()  {      ll i, j, type, a, b, v, sum1, sum2;      scanf("%lld",&n);      for(i=1;i<=n;i++)      {          scanf("%lld",num+i);          add(c1,i,num[i]-num[i-1]);          add(c2,i,(i-1)*(num[i]-num[i-1]));      }      scanf("%lld",&q);      while(q--)      {          scanf("%lld",&type);          if(type==1)          {              scanf("%lld%lld%lld",&a,&b,&v);              add(c1,a,v);add(c1,b+1,-v);              add(c2,a,v*(a-1));add(c2,b+1,-v*b);          }          if(type==2)          {              scanf("%lld%lld",&a,&b);              sum1=(a-1)*sigma(c1,a-1)-sigma(c2,a-1);              sum2=b*sigma(c1,b)-sigma(c2,b);              printf("%lld\n",sum2-sum1);          }      }      return 0;  }