poj2115

题目不难，设计到的知识点也不多。具体为扩展欧几里德定理求解模线性方程。题意为给定一个循环：

for (variable = A; variable != B; variable += C)  statement;

A、B、C为K bit无符号数（即0<=A、B、C<2^k)。要我们判段该循环内的statement可以执行多少次，若为死循环。则输出FOREVER。

若不为死循环。且假定可以循环X次。则可以推出: (A+X*C)%(2^K)=B也即X*C=(B-A)%(2^K)。此式子为模线性方程。若方程有解则求出该方程的最小整数。否则说明为死循环，输出FOREVER。那么关键点就是求解模线性方程了。

令a=C;

    b=B-A;

    n=2^K;

模线性方程如下：ax=b(mod)n;

下面介绍利用扩展欧几里德算法求解ax=b(mod)n即方程：ax+ny=b;

首先：ax=b(mod)n;若有解则说明GCD(a,n)|b,即b%GCD(a,n)==0.解个数为GCD(a,n)，否则无解。若存在解，则令d=GCD(a,n)，利用扩展欧几里德算法求解ax+ny=d的一个解x0,y0.

满足ax0+ny0=d, 两边同时乘以b/d,则为a*b/d*x0+n*b/d*y0=b; 则模线性方程ax=b(mod)n的最小解为：x0'=x=(b/d)*x0，y0'=(b/d)*y0。d个解如下：

xi= x0'+ i* (n/ d ){i= 0... d-1}。

设ans=x0‘*(b/d),s=n/d;

方程ax≡b (mod n)的最小整数解为：(ans%s+s)%s;

那么关键点就是扩展欧几里德算法的编写了：下面是其递归模板（理解为主），在我的博客中有介绍：

01.int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){  02.    if(b==0){  03.        x=1;  04.        y=0;  05.        return a;  06.    }  07.    int r=exgcd(b,a%b,x,y);  08.    int t=y;  09.    y=x-(a/b)*y;  10.    x=t;  11.    return r;  12.}  

如下为其非递归形式：

01.int exgcd(int a,int b,int &x,int &y){  02.    if(b==0){  03.        x=1;  04.        y=0;  05.        return a;  06.    }  07.    int q,r;  08.    int x1=0,y1=1;  09.    int x2=1,y2=0;  10.    while(b>0){  11.       q=a/b;  12.       r=a-q*b;  13.       x=x2-q*x1;  14.       y=y2-q*y1;  15.       a=b;  16.       b=r;  17.       x2=x1;  18.       x1=x;  19.       y2=y1;  20.       y1=y;  21.    }  22.    x=x2,y=y2;  23.    return a;  24.}  

还需要注意的就是再求最小整数解时。由于最小解可能小于0，故要对其先求模，然后再取模。另外表示2^k，若为int,则直接为1<<k(1左移k位); 若为LL或__int64则要强制转换如下：(LL)1<<k, (__int64)1<<k.否则可能产生异想不到的结果。 

下面是代码：132K+0MS

#include <stdio.h>#include <stdlib.h>__int64  A,B,C;int k;__int64 exgcd(__int64 a,__int64 b,__int64 &x,__int64 &y){ // 扩展欧几里德算法求解方程ax+ny=b的最小解x0,y0if(b==0){x=1,y=0;return a;}__int64 rs=exgcd(b,a%b,x,y);__int64 temp=x;x=y;y=temp-a/b*y;return rs;}int main(){while(scanf("%I64d%I64d%I64d%d",&A,&B,&C,&k)){if(A==0 && B==0 && C==0 && k==0)break;__int64 n=(__int64)1<<k; // 2^k次方__int64 a=C,b=B-A,x,y,d;d=exgcd(a,n,x,y);  if(b%d!=0) // 若方程无解printf("FOREVER\n");else{ // 否则输出最小整数解__int64 s=n/d;x=((x%n)*(b/d))%n;printf("%I64d\n",(x%s+s)%s);}}return 0;}