0-1背包--Bone Collector-hdu2602二维&一维数组

Bone Collector

Description

Many years ago , in Teddy’s hometown there was a man who was called “Bone Collector”. This man like to collect varies of bones , such as dog’s , cow’s , also he went to the grave … 
The bone collector had a big bag with a volume of V ,and along his trip of collecting there are a lot of bones , obviously , different bone has different value and different volume, now given the each bone’s value along his trip , can you calculate out the maximum of the total value the bone collector can get ? 

 

Input

The first line contain a integer T , the number of cases. 
Followed by T cases , each case three lines , the first line contain two integer N , V, (N <= 1000 , V <= 1000 )representing the number of bones and the volume of his bag. And the second line contain N integers representing the value of each bone. The third line contain N integers representing the volume of each bone.

 

Output

One integer per line representing the maximum of the total value (this number will be less than 2 ³¹).

 

Sample Input

 1(case)5 10(N,V)1 2 3 4 5(价值)5 4 3 2 1 (体积)

 

Sample Output

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题意:已知N个骨头的价值和大小,现在用一个体积一定的袋子去装这些骨头,求出最大的价值.

解析:(以下解析来自背包九讲超级版)

这是最基础的背包问题，特点是：每种物品仅有一件，每个物品最多只能放一次,可以选择放或不放.

用子问题定义状态：即f[i][v]表示前i件物品恰放入一个容量为v的背包可以获得的最大价值。则其状态转移方程便是：

f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]+w[i]}

如果不放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入容量为v的背包中”，即
f[i][v]=f[i-1][v],如果放第i件物品，那么问题就转化为“前i-1件物品放入剩下的容量为v-c[i]的背包中”，此时能获得的最大价值就是f[i-1][v-c[i]]再加上通过放入第i件物品获得的价值w[i]。即f[i][v]=f[i-1][v-c[i]]+w[i].

这里用long long就错了,不知道为什么..

二维代码:

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>int f[1005][1005];int main(){    int N,T,V,i,a[1005],b[1005],j;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        memset(f,0,sizeof(f));        scanf("%d%d",&N,&V);        for(i=1;i<=N;i++)            scanf("%d",&a[i]);        for(i=1;i<=N;i++)            scanf("%d",&b[i]);        for(i=1;i<=N;i++)        {            for(j=V;j>=0;j--)            {                if(j-b[i]>=0)                f[i][j]=f[i-1][j]>(f[i-1][j-b[i]]+a[i])?f[i-1][j]:(f[i-1][j-b[i]]+a[i]);                else                  f[i][j]=f[i-1][j];            }        }        printf("%d\n",f[N][V]);    }    return 0;}

优化空间复杂度

以上方法的时间和空间复杂度均为O(N*V)，其中时间复杂度基本已经不能再优化了，但空间复杂度却可以优化到O(V)。

先考虑上面讲的基本思路如何实现，肯定是有一个主循环i=1..N，每次算出来二维数组f[i][0..V]的所有值。

那么，如果只用一个数组f[0..V]，能不能保证第i次循环结束后f[v]中表示的就是我们定义的状态f[i][v]呢？

f[i][v]是由f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]两个子问题递推而来，能否保证在推f[i][v]时（也即在第i次主循环中推f[v]时）能够得到f[i-1][v]和f[i-1][v-c[i]]的值呢？事实上，这要求在每次主循环中我们以v=V..0的顺序推f[v]，这样才能保证推f[v]时f[v-c[i]]保存的是状态f[i-1][v-c[i]]的值。伪代码如下：

for i=1..N

    for v=V..0

        f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]+w[i]};

其中的f[v]=max{f[v],f[v-c[i]]}一句恰就相当于我们的转移方程f[i][v]=max{f[i-1][v],f[i-1][v-c[i]]}，因为现在的f[v-c[i]]就相当于原来的f[i-1][v-c[i]]。

一维代码:

#include<stdio.h>#include<string.h>#include<math.h>int f[1005];int main(){    int N,T,V,i,a[1005],b[1005],j;    scanf("%d",&T);    while(T--)    {        memset(f,0,sizeof(f));        scanf("%d%d",&N,&V);        for(i=1;i<=N;i++)            scanf("%d",&a[i]);        for(i=1;i<=N;i++)            scanf("%d",&b[i]);        for(i=1;i<=N;i++)        {            for(j=V;j>=b[i];j--)            {                f[j]=f[j]>(f[j-b[i]]+a[i])?f[j]:(f[j-b[i]]+a[i]);            }        }        printf("%d\n",f[V]);    }    return 0;}

初始化的细节问题

我们看到的求最优解的背包问题题目中，事实上有两种不太相同的问法。有的题目要求“恰好装满背包”时的最优解，有的题目则并没有要求必须把背包装满。一种区别这两种问法的实现方法是在初始化的时候有所不同。

如果是第一种问法，要求恰好装满背包，那么在初始化时除了f[0]为0其它f[1..V]均设为-∞，这样就可以保证最终得到的f[N]是一种恰好装满背包的最优解。

如果并没有要求必须把背包装满，而是只希望价格尽量大，初始化时应该将f[0..V]全部设为0。

为什么呢？可以这样理解：初始化的f数组事实上就是在没有任何物品可以放入背包时的合法状态。如果要求背包恰好装满，那么此时只有容量为0的背包可能被价值为0的nothing“恰好装满”，其它容量的背包均没有合法的解，属于未定义的状态，它们的值就都应该是-∞了。如果背包并非必须被装满，那么任何容量的背包都有一个合法解“什么都不装”，这个解的价值为0，所以初始时状态的值也就全部为0了。

其实从为什么呢这里就没看懂....